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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 24

Mostre que

  1. Se S é uma superfície dada na forma explicita pela equação y = y(x,z)

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R f   x , y x , z ,   z   1 + ∂ y ∂ x 2 + ∂ y ∂ z 2 d x d z

Onde R é a projeção de S sobre o plano XZ

b) Se S é dada por x = x (y,z) então

∫ ∫ S f   d S =   ∫ ∫ R ' f   x ( y , z ) , y ,   z   1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2 d y d z

Onde R’ é a projeção de S sobre o plano YZ

Passo 1

A e B compartilham do mesmo principio então basta explicar o método que podemos aplicar para os dois. Show! Então vamos la. Primeiro temos que pensar que a integral de superfície é :

∫ ∫ S d S =     ∫ ∫ R ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v    

OU seja é a integral do rotacional das derivadas parciais da função vetorial fazendo projeção num plano. (Maneira difícil de falar né . rsrs ) Mas olha só ate que não é tao complicado assim. Percebe só. No nosso caso r = y ( x , z ) então isso quer dizer que nossas variáveis são x e z

Logo nossas derivadas parciais serão

∂ r ∂ u =   ∂ y ( x , z ) ∂ x

= 1 , ∂ y ∂ x ,   0

∂ r ∂ v =   ∂ y ( x , z ) ∂ z

= 0 , ∂ y ∂ z , 1

Assim nossa integração fica

∫ ∫ R ∂ r ∂ u   x ∂ r ∂ v   d u d v     →   ∫ ∫ R 1 , ∂ y ∂ x ,   0   x 0 , ∂ y ∂ z , 1   d x d z    

Calculando esse rotacional obtemos

1 ,     ∂ y ∂ x ,     0   x   0 ,     ∂ y   ∂ z ,     1 = ∂ y ∂ x ,     - 1 ,     ∂ y ∂ z

E por fim nossa integração fica

∫ ∫ R ∂ y ∂ x ,     - 1 ,     ∂ y ∂ z   d x d z    

Nos resta só aplicar o modulo

∫ ∫ R ∂ y ∂ x 2   + 1 +   ∂ y ∂ z 2       d x d z    

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Calcule a integral de superfície. ∬ x d S S é a região triangular com vértices 1,0 , 0 , 0 , - 2,0e0,0 , 4 .
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Calcule a integral de superfície. ∬ x + y + z d S S é o paralelogramo com as equações paramétricas x = u + v ,y = u - v ,z = 1 + 2 u + v ,0 ≤ u ≤ 2 ,0 ≤ v ≤ 1 .
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