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Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.6 - Ex. 65

Mostre que se tanto ∑ n = 1 ∞ a n quanto ∑ n = 1 ∞ b n convergem absolutamente, então isso também acontece com as séries a seguir.

  1. ∑ n = 1 ∞   ( a n + b n )
  2. ∑ n = 1 ∞   ( a n - b n )
  3. ∑ n = 1 ∞   k a n ( q u a l q u e r   n ú m e r o   k )

Passo 1

Iaiii galera, espero que estejam bem! Vamos lá pra mais uma questão de Sequências Infinitas e Séries!

  1. O Teste da Comparação Direta diz que “se todos os termos de uma série forem menores do que seus termos correspondentes em alguma série convergente, ela também deve convergir”. Então, uma vez que podemos confirmar a relação abaixo

    2. a n + b n ≤ a n + | b n |

    Então podemos dizer que ∑ n = 1 ∞   ( a n + b n ) converge absolutamente.

    Passo 2

  2. Sabemos que ∑ n = 1 ∞ | b n | converge, e dessa forma ∑ n = 1 ∞ - b n converge absolutamente.

    3. Já que ∑ n = 1 ∞ a n converge absolutamente e ∑ n = 1 ∞ - b n converge absolutamente, então pode-se confirmar a igualdade das séries abaixo:

    ∑ n = 1 ∞   ( a n + - b n ) = ∑ n = 1 ∞   ( a n - b n )

    Portanto, ∑ n = 1 ∞   ( a n - b n ) converge absolutamente, pelo que vimos no item a).

    Passo 3

  3. Sabemos que ∑ n = 1 ∞ | a n | converge, e dessa forma | k | ∑ n = 1 ∞ | a n | = ∑ n = 1 ∞ | k a n | e pode-se dizer que converge. Logo, ∑ n = 1 ∞ k a n converge absolutamente.

Resposta

  1. ∑ n = 1 ∞   ( a n + b n ) converge absolutamente.
  2. ∑ n = 1 ∞   ( a n - b n ) converge absolutamente.
  3. ∑ n = 1 ∞   k a n ( q u a l q u e r   n ú m e r o   k ) converge absolutamente.

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