Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.7 - Ex. 50

Se você integrar termo a termo a série do Exercício 49, qual nova série você obtém? Para quais valores de x a nova série converge? E qual é o outro nome para sua soma?

Passo 1

Fala pessoal, tudo certinho? vamos responder mais uma questão, então prepara o material e vamos responder!!

Consideremos a série

f x = 1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + …

Integrando os dois lados em relação a x , nós temos que

∫ f x   d x = ∫ 1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + …

Expandindo os termos do lado direito, especificamente

∫ f x   d x = ∫ d x - 1 2 ∫ x - 3 d x + 1 4 ∫ x - 3 2   d x + … + - 1 2 n ∫ x - 3 n   d x + …

Com isso, temos o seguinte resultado

∫ f x   d x = x - x - 3 2 4 + x - 3 3 12 + … + - 1 2 n x - 3 n + 1 n + 1 + … + C

Onde C é a constante de integração, a nova série é convergente quando 1 < x < 5 . Agora, nós temos que checar a convergência nos pontos extremos do intervalo, ou seja, x = 1 e x = 5 .

Passo 2

Considerando x = 1 , temos que

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n 1 - 3 n + 1 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ - 2 n + 1

O que é uma série divergente. Agora, tendo x = 5

∑ n = 1 ∞ u n = ∑ n = 1 ∞ - 1 2 n 5 - 3 n + 1 n + 1 = 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n n + 1

O que é uma série convergente, pelo teste da série alternado, portanto, o intervalo de convergência é igual a 1 < x ≤ 5 .

Passo 3

Agora, nós temos que

1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + … = 2 x - 1

Integrando ambos os lados em relação a x temos

∫ 1 - 1 2 x - 3 + 1 4 x - 3 2 + … + - 1 2 n x - 3 n + … = ∫ 2 x - 1

Que tem como resultado

x - x - 3 2 4 + x - 3 3 12 + … + - 1 2 n x - 3 n + 1 n + 1 + … = 2 ln ⁡ x - 1 + C

Onde C é a constante de integração, colocando x = 3 nos dois lados, obtemos C = 3 - ln ⁡ 4 , a soma das séries é

2 ln ⁡ x - 1 + ( 3 - ln ⁡ 4 )

Resposta

2 ln ⁡ x - 1 + ( 3 - ln ⁡ 4 )

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre uma série de potências para f , plote f e varias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = 1 x 2 + 25
Encontre uma série de potências para f , plote f e varias somas parciais s n x na mesma tela. O que acontece quando n aumenta? f x = ln ⁡ 3 + x
Completando o quadrado, mostre que ∫ 0 1 / 2 d x x 2 - x + 1 = π 3 3 Ao fatorar x 3 + 1 como uma soma de cubos, reescreva a integral do item a). Depois expresse 1 / ( x 3 + 1 ) como a soma de uma séri
Utilize operações de séries de potencias para encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função ln ⁡ 1 + x - ln ⁡ ( 1 - x ) .
Utilize operações de séries de potencias para encontrar a série de Taylor em x = 0 para a função x 3 ln ⁡ ( 1 + x 2 )