Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 15
Mostre que todas as soluções do sistema
tendem a zero quando t → ∞ se, e somente se, e . Compare esse resultado com o do Problema 37 na Seção 3.4.
Passo 1
Para determinar toda as soluções do sistema temos que determinar os autovalores:
Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.
Para isto utilizaremos a seguinte relação:
Em que os autovalores serão as raízes do .
Determinando os autovalores:
Tendo as raízes:
Passo 2
Nós desejamos todos o autovalores que possuem parte real negativa, e isso irá nos dará certeza que a todas as soluções serão próximas de zero, pois teríamos os termo na forma de , onde é parte real da inequação.
Mas para isto ser possível temos que ter , com isto teríamos certeza que mesmo tendo uma parte imaginária, ela também seria próxima a zero.
Certo, agora queremos ter certeza só teremos a parte real do autovalores, para isto os dois autovalores tem que ser negativos, tendo a seguinte inequação:
Lembre-se da nossa condição , quando calcularmos o quadrante da inequação teremos o seguinte:
Que é nossa solução