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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.6 - Ex. 31a

Considere o sistema com duas massas e três molas cujas equações de movimento são as Eqs.

(22) no texto. Suponha que m 1   =   m 2   =   1 ,   k 1   =   k 2   =   k 3   =   1 .

(a) Como no texto, transforme o sistema em quatro equações de primeira ordem da forma y ’ = A y . Determine a matriz de coeficientes A .

(b) Encontre os autovalores e autovetores de A .

(c) Escreva a solução geral do sistema.

(d) Descreva os modos fundamentais de vibração. Para cada modo fundamental, desenhe

gráficos de y1 e de y2 em função de t. Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos

planos y 1 y 3   e y 2 y 4 .

(e) Considere as condições iniciais y ( 0 )   =   – 1 ,   3 ,   0 ,   0 T . Calcule as constantes arbitrárias na

solução geral do item (c). Desenhe gráficos de y1 e de y2 em função de t. Você acha que a

solução é periódica? Desenhe, também, as trajetórias correspondentes nos planos y 1 y 3 e y 2 y 4 .

(f) Considere outras condições iniciais de sua escolha e desenhe gráficos semelhantes aos

pedidos no item (e).

Passo 1

a) Dando uma leve retomada no livro temos que as equações (22), que ele se refere são:

m 1 d 2 x 1 d t 2 = - k 1 + k 2 x 1 + k 2 x 2

m 2 d 2 x 2 d t 2 = k 2 x 1 - k 2 + k 3 x 2

Passo 2

Nossa missão aqui é escrever essas equações na forma matricial, bem vamos lá:

Primeiramente vamos isolar as variáveis x 1 e x 2 :

x 1 ' ' = - k 1 + k 2 m 1   x 1   + k 2 m 1 x 2

x 2 ' ' = k 2 m 2     x 1 - k 2 + k 3 m 2   x 2

Como obtivo é escrever na forma matricial em função de y , temos que colocar y 1 = x 1 , y 2 = x 2 , y 3 = x 1 ' e y 2 = x 2 ' . Com isto teremos:

y 1 ' = y 3

y 2 = y 4

y 3 ' = - k 1 + k 2 m 1   x 1   + k 2 m 1 x 2

y 4 ' = k 2 m 2     x 1 - k 2 + k 3 m 2   x 2

Agora generalizando as variáveis y pode escreve-las:

y ' = 0 0 1 0 0 0 0 1 - k 1 + k 2 m 1 k 2 m 1 0 0 k 2 m 2 - k 2 + k 3 m 2 0 0 y

Passo 3

Agora que possuímos nossa equação diferencial na forma matricial vamos substituir as variáveis m 1   =   m 2   =   1 ,   k 1   =   k 2   =   k 3   =   1 e teremos o resultado final:

y ' = 0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 1 0 0 1 - 2 0 0 y

Temos nossa matriz A = 0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 1 0 0 1 - 2 0 0

Resposta

a)

A = 0 0 1 0 0 0 0 1 - 2 1 0 0 1 - 2 0 0

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Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x b) Para encontrar uma terceira solução, suponha que x=ξ t e t+η e t ; mostre que, então, ξ e η têm que satisfazer A - I ξ = 0 A - I η = ξ
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x a) Mostre que r = 1 é um autovalor triplo da matriz de coeficientes A e que existem dois autovetores associados lineramente indepednetes,
Considere o sistema x ' = A x = 1 1 1 2 1 - 1 - 3 2 4 x f) Forme a matriz T com o autovetor ξ 1 na primeira coluna e os autovetores generalizados η e ζ na segunda e terceira colunas. Depois, encontre
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x e) Escreva uma matriz fundamental Ψ ( t ) para o sistema (i).
Considere o sistema x ' = A x = 5 - 3 - 2 8 - 5 - 4 - 4 3 3 x d) Uma escolha conveniente para η é ( 0 ,0 ,1 ) T . Encontre o ξ correspondente usando a Eq. (iv).Verifique se ξ é um autovetor.