Enunciado
Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 13
Em cada um dos Problemas 13 e 14, resolva o sistema de equações dado pelo método do Problema 19 da Seção 7.5. Suponha que t > 0.
Passo 1
a)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.
Para isto utilizaremos a seguinte relação:
Em que os autovalores serão as raízes do .
Determinando os autovalores:
Tendo as raízes:
Passo 2
Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando , temos:
Reduzindo o sistema para:
Para :
Passo 3
Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:
Temos que:
Assumindo , teremos:
Antes de prosseguirmos, vamos lembrar que podemos assumir e transformar a equação inicial coeficiente constante da equação linearmente independente da viável .
E assim poderemos obter a segunda solução pela multiplicação da primeira solução pela nosso novo fator . Isto implica que iremos multiplicar a primeira solução pelo fator .
Portanto, aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:
Aplicando a formula da solução geral temos:
Logo a solução geral fica: