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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.8 - Ex. 2

Em cada um dos problemas de 1 a 4:

(a) Desenhe um campo de direções e esboce algumas trajetórias.

(b) Descreva como as soluções se comportam quando t   →   ∞ .

(c) Encontre a solução geral do sistema de equações.

x ' = 4 - 2 8 - 4 x

Passo 1

a)Desenhando um campo de direções suas trajetórias:

b) Observando o desenho, note que todas linhas em x 2 = 2 x 1 são pontos iguais. Logo a solução começa todos os outros pontos e começam a dispersar.

Passo 2

c)Para determinarmos a solução geral do sistema temos que encontrar os autovalores e autovetores associados.

Para isto utilizaremos a seguinte relação:

A - r I ξ = 0

Em que os autovalores serão as raízes do d e t ⁡ ( A - r I ) .

Determinando os autovalores:

det ⁡ A - r I = 4 - 2 8 - 4 - r 0 0 r

det ⁡ A - r I = 4 - r - 2 8 - 4 - r

det ⁡ A - r I = r 2

Tendo as raízes:

r 1 = 0

r 2 = 0

Vamos agora determinar o autovetor associado, colocando r = 0 , temos:

A - r I ξ = 0

4 - 2 8 - 4 ∙ ξ 1 ξ 2 = 0

Reduzindo o sistema para:

2 ξ 1 - ξ 2 = 0

Para r = 0 :

ξ 1 = 2 1

x ( 1 ) t = 2 1 ∙ e 0 t

Para podermos calcular a segunda solução linear, teremos que generalizar um vetor próprio:

4 - 2 8 - 4 ∙ η 1 η 2 = 2 1

Temos que:

2 η 1 - η 2 = 1 2

Assumindo η 1 = k , teremos:

η 2 = 2 k - 1 2

Aplicando a segunda solução para autovalores repetidos:

x 2 = 2 1 t + k 2 k - 1 / 2 = 2 1 t + 0 - 1 / 2 + k 2 1

Aplicando a formula da solução geral temos:

x = c 1 x 1 t + c 2 x ( 2 ) t

Logo a solução geral fica:

x = c 1 2 1 + c 2 2 1 t + 0 - 1 / 2

Resposta

b) Observando o desenho, note que todas linhas em x 2 = 2 x 1 são pontos iguais. Logo a solução começa todos os outros pontos e começam a dispersar.

c) x = c 1 2 1 + c 2 2 1 t + 0 - 1 / 2

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