Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 15
Você está projetando uma lata (um cilindro de revolução) de cuja manufatura levará em conta o desperdício. Não há desperdício ao cortar a lateral do alumínio, mas tanto a base como o topo, ambos de raio , são recordados de quadrados que medem de lado. Portanto, a quantidade total de alumínio utilizada para fazer uma lata será de
Em vez de , como ocorre no exemplo . Nele, a razão para é , qual é a razão nesse caso?
Passo 1
A área vai ser:
Ele disse que o volume é sempre , então:
Isolando o
A nossa área fica:
Onde o raio é maior que
Não pode ser porque está no denominador.
Passo 2
Para acharmos o valor de mínimo ou máximo, temos que comparar o valor da função nos pontos críticos e nos extremos do intervalo.
Começando por achar os pontos críticos:
Colocando a fração como potência:
A espessura é constante, então não interfere na derivada.
Derivando:
Fazendo isso igual a
Cortando o dos dois lados
Passo 3
Vamos achar o valor da função nos pontos críticos e extremos do intervalo:
Ele só deu a limitação em certo? Quer dizer que a outra limitação é o infinito.
O menor dos valores é quando
Então vamos ter
E
Assim, a razão será: