Mostreque, se λ₁ e λ₂ são autovalores de uma matriz A qualquer e se λ1 ≠ λ2 , então os autovetores correspondentes x₁ e x_2 são linearmente independentes.

Sugestão: Comece com c₁ * x(1) + c₂ * x(2) = 0 ;multiplique por A para obter λ₁ c₁ x(1) + λ₂ c₂ x(2) = 0 . Depois mostre que c₁ = c₂ = 0 .

Passo 1

Que A seja uma matriz λ 1 ,   λ 2 autovalores distintos de A e   x 1 , x 2   autovalores de A

de A correspondente λ 1 e   λ 2 respectivamente.

Considere c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 .

Nós temos que:

A c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = A ( c 1 x 1 ) + A ( c 2 x 2 ) = c 1 A x ( 1 ) + c 2 A x ( 2 ) =

= λ 1 c 1 x ( 1 ) + λ 2 c 2 x ( 2 ) = 0

Desde que c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 nos temos que c 1 x ( 1 ) = - c 2 x ( 2 ) e em seguida, desde que λ 1 c 1 x ( 1 ) + λ 2 c 2 x ( 2 ) = 0 , nós teremos λ 1 - c 2 x ( 2 ) + λ 2 c 2 x ( 2 ) = c 2 x ( 2 ) λ 2 - λ 1 .

Considerando que λ 2 ≠ λ 1 e x 2 é um autovetor de A , nós teremos que ( λ 2 - λ 1 ) ≠ 0 e x 2 ≠ 0 . Assim x 2 ( λ 2 - λ 1 ) ≠ 0 . Em seguida, teremos que c 2 x 2 λ 2 - λ 1 = 0 nós temos que c 2 = 0 .

Então, teremos que c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 e se c 2 = 0 , então c 1 x ( 1 ) = 0 .Então z = x 1 é um autovetor de A, então para x 1 ≠ 0 nosso c 1 = 0 .

A solução mais simples para c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 vai implicar que c 1 = c 2 = 0 se x 1 e x 2 forem linearmente independente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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