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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 7.3 - Ex. 34

Mostreque, se λ 1 e   λ 2 são autovalores de uma matriz A qualquer e se λ 1 ≠ λ 2 , então os autovetores correspondentes x 1 e x 2 são linearmente independentes.

Sugestão: Comece com c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 ;multiplique por A para obter λ 1 c 1 x ( 1 ) + λ 2 c 2 x ( 2 ) = 0 . Depois mostre que c 1 = c 2 = 0 .

Passo 1

Que A seja uma matriz λ 1 ,   λ 2 autovalores distintos de A e   x 1 , x 2   autovalores de A

de A correspondente λ 1 e   λ 2 respectivamente.

Considere c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 .

Nós temos que:

A c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = A ( c 1 x 1 ) + A ( c 2 x 2 ) = c 1 A x ( 1 ) + c 2 A x ( 2 ) =

= λ 1 c 1 x ( 1 ) + λ 2 c 2 x ( 2 ) = 0

Desde que c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 nos temos que c 1 x ( 1 ) = - c 2 x ( 2 ) e em seguida, desde que λ 1 c 1 x ( 1 ) + λ 2 c 2 x ( 2 ) = 0 , nós teremos λ 1 - c 2 x ( 2 ) + λ 2 c 2 x ( 2 ) = c 2 x ( 2 ) λ 2 - λ 1 .

Considerando que λ 2 ≠ λ 1 e x 2 é um autovetor de A , nós teremos que ( λ 2 - λ 1 ) ≠ 0 e x 2 ≠ 0 . Assim x 2 ( λ 2 - λ 1 ) ≠ 0 . Em seguida, teremos que c 2 x 2 λ 2 - λ 1 = 0 nós temos que c 2 = 0 .

Então, teremos que c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 e se c 2 = 0 , então c 1 x ( 1 ) = 0 .Então z = x 1 é um autovetor de A, então para x 1 ≠ 0 nosso c 1 = 0 .

A solução mais simples para c 1 x ( 1 ) + c 2 x ( 2 ) = 0 vai implicar que c 1 = c 2 = 0 se x 1 e x 2 forem linearmente independente.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Em cada um dos problemas de 16 a 25, encontre todos os autovalores e autovetores da matriz dada. A = 1 0 0 2 1 - 2 3 2 1
Vamosmostrar, nesse problema, que os autovalores de uma matriz autoadjunta A sãoreais. Seja x um autovetor associado ao autovalor λ. (a) Mostre que ( A x ,x )=( x ,A x ) . Sugestão: Veja o Problema 26
Prove que λ=0 será um autovalor de A se, e somente se, A for singular.
Sejam x 1 = e t t e t x 2 = 1 t Mostre que x 1 e x 2 são linearmente dependentes em cada ponto do intervalo 0 ≤ t ≤ 1 . Apesar disso, mostre que x 1 e x 2 são linearmente independentes em 0 ≤ t ≤ 1 .