Mostreque, se λ₁ e λ₂ são autovalores de uma matriz A autoadjunta e se λ₂ ≠ λ₁ , então os autovetores correspondentes x^1 e x^2 são ortogonais.

Sugestão: Use os resultados dos Problemas 26(c) e 32 para mostrar que:

(λ₁ - λ₂)(x¹, x²) = 0

Passo 1

Seja A uma matriz hermitiana e λ 2 e   λ 1 para autovalores diferentes de   A . Pegue x ( 1 ) e um autovetor correspondente ao autovalor lambda   λ 1 e x ( 2 ) e um autovetor correspondente ao autovalor   λ 2 .

Pelo problema 26 (c), temos que A x , y = x , A y para qualquer um dos vetores x e y que faz com que: A x 1 , x 2 = x 1 , A x 2 .

Também temos que A x 1 , x 2 = λ 1 x 1 , x 2 = λ 1 x 1 , x 2 e x 1 , A x 2 = x 1 , λ 2 x 2 = λ 2 x 1 , x 2 . Pelo exercício 32, nós temos que λ 2 é real se λ 2 - x 1 , x 2 = λ 2 x 1 , x 2 .

Quando λ 1 x 1 , x 2 = λ 2 x 1 , x 2 nós teremos que λ 1 - λ 2 x 1 , x 2 = 0 . Desde que λ 2 ≠ λ 1 , nós teremos que λ 1 - λ 2 ≠ 0 e x 1 , x 2 = 0 . Portanto x 1 e x 2 são ortogonais.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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