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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1f

Resolva a equação

f ) overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) + 2 y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) + 2 overset(˙)(y) + 2 y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + 2 lambda e^(lambda t) + 2 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 + 2 lambda + 2) = 0 -> lambda^2 + 2 lambda + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)

Para o caso dado só temos a = 1 , b = 2 e c = 2 , assim:

lambda^' e lambda " = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 (1) (2)))/(2 (1)) = - 1 +- (sqrt(- 4))/(2)

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i^2 = - 1 :

- 1 +- (sqrt(4 i^2))/(2) = - 1 +- (sqrt(( 2 i )^2))/(2) = - 1 +- (2)/(2) i = - 1 +- i

Passo 3

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 e lambda_2 são números complexos podemos afirmar que:

y (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)

Lembrando que: lambda = alpha +- beta i

Para o nosso caso: alpha = - 1 e beta = 1

Assim, substituindo os valores de alpha e beta :

y (t) = e^(- 1 t) [A cos t + B sin t]

Resposta

y (t) = e^(- t) [A cos t + B sin t]

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