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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 1g

Resolva a equação

f ) overset(¨)(y) - 4 overset(˙)(y) + 4 y = 0

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t) , assim:

overset(¨)(y) - 4 overset(˙)(y) + 4 y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 4 lambda e^(lambda t) + 4 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 4 lambda + 4) = 0

e^(lambda t) (lambda^2 - 4 lambda + 4) = 0 -> lambda^2 - 4 lambda + 4 = 0 -> (lambda - 2)^2 -> lambda_1 e lambda_2 = 2

Passo 2

Identificados os valores de lambda , podemos Agora reescrever o y pelo teorema que diz que se temos duas raízes lambda_1 e lambda_2 da equação característica (ou seja, a função lambda^2 + b lambda + c = 0 ), então se lambda_1 = lambda_2 então podemos reescrever y como sendo:

y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)

Para o nosso caso: lambda_1 = 2 = lambda_2

Assim, substituindo os valores de lambda_1 e lambda_2 :

y (t) = [A e^(2 t) + B t e^(2 t)]

Resposta

y (t) = [A e^(2 t) + B t e^(2 t)]

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