Se usarmos, para esse caso que
y = e^(lambda t) -> overset(˙)(y) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(y) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(y) - 4 overset(˙)(y) + 4 y = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) - 4 lambda e^(lambda t) + 4 e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 - 4 lambda + 4) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 - 4 lambda + 4) = 0 -> lambda^2 - 4 lambda + 4 = 0 -> (lambda - 2)^2 -> lambda_1 e lambda_2 = 2
Passo 2
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
y
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 = lambda_2
então podemos reescrever
y
como sendo:
y (t) = [A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_2 t)] (A , B ϵ R)
Para o nosso caso:
lambda_1 = 2 = lambda_2
Assim, substituindo os valores de
lambda_1 e lambda_2
:
y (t) = [A e^(2 t) + B t e^(2 t)]