Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 5
Uma partícula de massa desloca-se sobre o eixo sob a ação da força elástica e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por . Determine a posição , da partícula no instante e discuta o movimento, supondo e .
Passo 1
Temos duas forças, uma proporcional a posição e a outra a velocidade, conseguimos achar uma relação entre as duas e a aceleração usando a segunda lei de Newton
A aceleração é dada pela segunda derivada da posição, ou seja, , logo
Passo 2
Supomos então a solução , calculando as derivadas
Substituindo na equação
Resolvemos agora a equação característica
E temos
E a solução para a equação homogênea é dada por
Passo 3
Aplicando as condições iniciais, primeiramente
Derivando agora a equação
E aplicando
Temos então o sistema
Somando as duas equações
Substituindo na primeira equação
E temos