Enunciado

Uma partícula de massa m = 1 desloca-se sobre o eixo O x sob a ação da força elástica - 2 x   i → e de uma força de amortecimento proporcional à velocidade e dada por - 3 x ˙   i → . Determine a posição x = x t ,   t ≥ 0 , da partícula no instante t e discuta o movimento, supondo x 0 = e - 1 e x ˙ 0 = - 1 .

Passo 1

Temos duas forças, uma proporcional a posição e a outra a velocidade, conseguimos achar uma relação entre as duas e a aceleração usando a segunda lei de Newton

∑ F → = m a

A aceleração é dada pela segunda derivada da posição, ou seja, a = x ¨ , logo

- 2 x - 3 x ˙ = x ¨

x ¨ + 3 x ˙ + 2 x = 0

Passo 2

Supomos então a solução x = e λ t , calculando as derivadas

x ˙ = λ e λ t

x ¨ = λ 2 e λ t

Substituindo na equação

λ 2 e λ t + 3 λ e λ t + 2 e λ t = 0

e λ t λ 2 + 3 λ + 2 = 0

Resolvemos agora a equação característica

λ 2 + 3 λ + 2 = 0

Δ = 3 2 - 4 ⋅ 1 ⋅ 2 = 9 - 8

Δ = 1

E temos

λ = - 3 ± 1 2

λ 1 = - 1

λ 2 = - 2

E a solução para a equação homogênea é dada por

x t = A e - t + B e - 2 t

Passo 3

Aplicando as condições iniciais, primeiramente x 0 = e - 1

x 0 = A + B = e - 1

Derivando agora a equação

x ˙ t = - A e - t - 2 B e - 2 t

E aplicando x ˙ 0 = - 1

x ˙ 0 = - A - 2 B = - 1

Temos então o sistema

A + B = e - 1 - A - 2 B = - 1

Somando as duas equações

- B = e - 2

B = 2 - e

Substituindo na primeira equação

A = e - 1 - B

A = e - 1 - 2 + e

A = 2 e - 3

E temos

x t = 2 e - 3 e - t + 2 - e e - 2 t

Resposta

x t = 2 e - 3 e - t + 2 - e e - 2 t

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