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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 25

Está vazando água de um tanque cônico invertido a uma taxa de 10000   c m 3 / m i n . Ao mesmo tempo, está sendo bombeada água para dentro do tanque a uma taxa constante. O tanque tem 6   m de altura e o diâmetro no topo é de 4   m . Se o nível da água estiver subindo a uma taxa de 20   c m / m i n quando a altura da água for 2   m , encontre a taxa segundo a qual a água está sendo bombeada para dentro do tanque.

Passo 1

Opa, bora lá! Temos um tanque cônico invertido, assim:

Temos água saíndo e água sendo bombeada pra dentro, mas a gente não conhece a que taxa a água esta entrando!

A variação no volume total do volume ( V ' ( t ) ) corresponde à diferença entre a taxa com que o volume é acrescido ( V a ' t ) e a taxa com que o volume vaza ( V v ' t ), ou seja:

V ' t = V a ' t - V v ' t

Se a água está vazando a uma taxa de 10000   c m 3 / m i n então V v ' t = 10000 :

V ' t = V a ' t - 10000

Passo 2

O volume total V é dado por:

V = π r 2 × h 3

Onde r é o raio do topo da área preenchida em um nível de altura h .

Se a altura máxima do cone é 6 m enquanto o nível da água nessa altura tem um diâmetro de 4   m que corresponde a um raio r = 2 , então todo par altura-raio é proporcional à isso. Logo:

h r = 6 2 = 3

r = h 3

Então, o volume é:

V = π h 3 2 × h 3

V = π h 3 27

Derivando em função do tempo:

V ' t = π 27 × 3 h 2 × h ' ( t )

V ' t = π h 2 9 × h ' ( t )

Passo 3

Como visto anteriormente, V ' t = V a ' t - 10000 portanto:

V a ' t - 10000 = π h 2 9 × h ' ( t )

Se no memento em que a altura é 2 metros h = 200 centímetros e está variando a uma taxa h ' ( t ) = 20 cm/min, então:

V a ' t - 10000 = π ( 200 ) 2 9 × 20

V a ' t = 800000 π 9 + 10000

Logo, a água está sendo bombeada a uma taxa de ( 800000 π 9 + 10000 ) c m 3 / m i n .

Resposta

A água está sendo bombeada a uma taxa de ( 800000 π 9 + 10000 ) c m 3 / m i n .

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