Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 3.9 - Ex. 37
A lei de Boyle afirma que quando uma amostra de gás está sendo comprimida a uma temperatura constante, a pressão e o volume satisfazem a equação , onde é uma constante. Suponha que em um certo instante o volume é de , a pressão é e a pressão cresce a uma taxa de . A que taxa está decrescendo o volume nesse instante?
Passo 1
Opa, bora resolver esse problema!
O enunciado nos dá a lei de Boyle para a compressão de gases a temperatura constante:
Onde é uma constante.
A partir dessa relação queremos obter a taxa de variação do volume no momento que a pressão é e a variação de pressão é .
Tem ideia de como fazemos isso?
Quando uma questão fala que quer a taxa de variação, é porque ela quer a derivada de algo em um determinado instante...
Então para resolver esse problema, vamos derivar nos dois lados da lei de Boyle e tentar isolar a variação do volume em um lado da igualdade...
Saca só!
Passo 2
Se a lei de Boyle é dada por
Derivando em relação ao tempos nos dois lados, temos
No enunciado foi dito que e variam no tempo, então temos que trata-las como funções...
Como temos a derivada de um produto de funções, podemos aplicar a regra do produto
Ou seja
A derivada de uma constante é , logo
Substituindo na equação...
Nosso objetivo é determinar a variação de no tempo, então vamos isolar em um lado da igualdade
Tranquilo até aqui?
Passo 3
No enunciado foi dado que a variação de no momento é de , ou seja
O volume e a pressão são
Substituindo em ...
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
O volume varia a uma taxa de centímetros cúbicos por minuto.