Enunciado
Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 3.4 - Ex. 40
Um ponto move-se ao longo de uma curva cuja equação é . Suponha que esteja crescendo a uma taxa de quando .
(a) Com que rapidez estará variando a distância entre e o ponto naquele instante?
(b) Com que rapidez estará variando o ângulo de inclinação do segmento de reta de a naquele
Passo 1
(a)
Já que a pergunta é sobre a rapidez com que a distância entre os pontos está variando, precisamos achar alguma equação que descreva essa distância. Se chamarmos a distância entre e o ponto de , pela fórmula de distância entre dois pontos, temos que:
Além disso a gente sabe que o ponto se move pela reta Então:
Substituindo isso dentro da equação da distância entre os pontos:
Passo 2
Agora precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo pra aparecer o termo em que estamos interessados (), que diz respeito a rapidez com que a distância entre os pontos está variando.
No nosso caso e não vão estar variando, pois são as coordenadas do ponto. Então pela Regra da Cadeia:
Acabamos de chegar numa equação que relaciona as taxas de variação de caras muito maneiros, agora só falta organizar melhor pra ela ficar menos feia hehe
Passo 3
Antes de jogar os dados na equação, vamos ver o que temos:
crescendo a uma taxa de .
Lembrando de atentar pro sinal positivo pois está CRESCENDO.
Ponto em que estamos interessados em calcular a distância até : . Então e
em . Mas como. Então e
Massss ainda falta descobrir o valor de naquele instante. Pra isso:
Passo 4
Substituindo isso tudo na equação (1):
Dividindo os dois lados por
Passo 5
(b)
Temos que a tangente do ângulo de inclinação é dada por:
Derivando essa expressão vamos ter:
Pela regra da derivada do produto:
Agora pela Regra da Cadeia, lembrando que e são constantes:
Passo 6
Agora antes de substituirmos os dados na equação (2), precisamos achar quanto vale e no instante desejado. Pra isso:
Se
Substituindo todos os dados que temos na equação (2):
Dividindo tudo por
Resposta
(a)
(b)