Um ponto move-se ao longo de uma curva cuja equação é . Suponha que esteja crescendo a uma taxa de quando .

(a) Com que rapidez estará variando a distância entre e o ponto naquele instante?

(b) Com que rapidez estará variando o ângulo de inclinação do segmento de reta de a naquele

Agora precisamos derivar essa expressão em relação ao tempo pra aparecer o termo em que estamos interessados (), que diz respeito a rapidez com que a distância entre os pontos está variando.

No nosso caso e não vão estar variando, pois são as coordenadas do ponto. Então pela Regra da Cadeia:

Acabamos de chegar numa equação que relaciona as taxas de variação de caras muito maneiros, agora só falta organizar melhor pra ela ficar menos feia hehe

Antes de jogar os dados na equação, vamos ver o que temos:

crescendo a uma taxa de .

Lembrando de atentar pro sinal positivo pois está CRESCENDO.

Ponto em que estamos interessados em calcular a distância até : . Então e

em . Mas como. Então e

Massss ainda falta descobrir o valor de naquele instante. Pra isso:

Substituindo isso tudo na equação (1):

Dividindo os dois lados por

(b)

Temos que a tangente do ângulo de inclinação é dada por:

Derivando essa expressão vamos ter:

Pela regra da derivada do produto:

Agora pela Regra da Cadeia, lembrando que e são constantes:

Agora antes de substituirmos os dados na equação (2), precisamos achar quanto vale e no instante desejado. Pra isso:

Se

Substituindo todos os dados que temos na equação (2):

Dividindo tudo por