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Enunciado

Cálculo - Anton - Cálculo - Vol 1- Ed: 10º - Capítulo 4.7 - Ex. 26

Muitas calculadoras computam recíprocos usando a aproximação 1 a ≈ x n + 1 , onde

x n + 1 = x n 2 - a x n ,   n = 1 ,   2 ,   3 ,   …

e x 1 é uma aproximação inicial de 1 a . Essa fórmula torna possível efetuar divisões usando multiplicações e subtrações, o que é um procedimento mais rápido do que dividir diretamente.

  1. Aplique o Método de Newton a

    2. f x = 1 x - a

    para deduzir essa aproximação.

  2. Use-a para aproximar 1 17 .

Passo 1

Tudo joia?

Aqui a gente tem que deduzir essa regra utilizando o método de Newton. Primeiramente, a gente precisa saber que:

Pra usar o método de Newton, a gente precisa fazer:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

Vamos derivar a função então:

f ' x = - 1 x 2

Agora a gente segue pro método de Newton...

Passo 2

Pelo método de Newton, a gente vai fazer:

x n + 1 = x n - 1 x n - a - 1 x n 2

Desenvolvendo um cadinho...

x n + 1 = x n - 1 - a x n x n   - x n 2 1

x n + 1 = x n - - 1 + a x n x n

x n + 1 = x n + x n - a x n 2

x n + 1 = x n 2 - a x n

E chegamos a fórmula da aproximação que queríamos 😍

Passo 3

  1. Vamos usar essa relação então para aproximar 1 17 . A gente vai ter a = 17 e podemos colocar x 1 = 0,05 . Olha só:

x 2 = 0,05 2 - 17 ( 0,05 = 0,0575

x 3 = 0,0575 ( 2 - 17 0,0575 ) = 0,05879  

Então vamos parar por aqui, e deixar nossa divisão sendo aproximadamente 1 17 = 0,059 !

😽

Resposta

  1. Demonstração.
  2. 0,059
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Encontre (d y)/(d x) :y = x^2 ( a r c s e n (x) )^3
Encontre (d y)/(d x) :y = a r c sec (x) + a r c c o s s e c ( x )
Encontre (d y)/(d x) :y = a r c cssec (e^x)
Encontre (d y)/(d x) :y = e^x a r c sec ( x )
28- a) Mostre que y = c o sx e y = s e nx são soluções da equação y ' ' + y = 0 . b) Mostre que y =As e nx + Bc o sx é uma solução da equação y ' ' + y = 0 para qualquer valor das constantes A e B .