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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.10 - Ex. 44

Navios Dois navios a vapor navegam para longe de um ponto O em rotas que formam um ângulo de 120º. O navio A se desloca a 14 nós (milhas náuticas por hora, uma milha náutica equivale a 2.000 jardas). O navio B se desloca a 21 nós. A que taxas os navios se afastam um do outro quando OA = 5 e OB = 3 milhas náuticas?

Passo 1

Para facilitar o exercício melhor fazer o desenho dessa forma.

Para podermos decompor o trajeto do navio A nos dois eixos. Uma vez que sin(30)=0.5 e cos(30)= 3 2

Dados da questão:

v b = 21   n ó s

v a y = 7 3   n ó s

v a x = - 7   n ó s  

s b = 3   m i l h a s  

s a y = 5 3 2 m i l h a s

s a x = - 5 2 m i l h a s

Passo 2

O navio A é o único que se desloca em y então a variação em y é a própria velocidade em y do navio A.

d y d t = 7   3     n ó s  

Em x o navio A e o navio B contribuem para o seu afastamento. Logo

d x d t = v b - v a x = 21 + 7   = 28   n ó s        

Para achar as distâncias relativas:

x = 3 + 2.5 = 5.5   m i l h a s

y = s a y = 2.5 3   m i l h a s

s = 5.5 2 + ( 2.5 3 ) 2 = 7

Passo 3

Podemos escrever então a mesma equação que escrevemos desde então:

s 2 = x 2 + y 2

Já que decompomos as velocidades nos eixos.

Derivando as velocidades:

2 s d s d t = 2 x d x d t + 2 y d y d t

Substituindo os valores e cortando o número 2 temos. 7 × d s d t = 5.5 × 28 + 2.5 3 × 7 3

d s d t = 29.5   n ó s

Resposta

d s d t = 29.5   n ó s

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