Crescimento de um monte de areia Areia cai de uma esteira transportadora a uma taxa de 10 m3/min no topo de um monte cônico. A altura do monte sempre tem três oitavos do diâmetro da base.

Qual a taxa de variação da

  1. altura e do
  2. raio

Quando o monte tiver 4 m de altura? Responda em cm/min.

Passo 1

Primeiramente anotar os dados da questão:

d V d t = 10 m 3 m i n

h = 3 8 d = 3 4 r

h = 4 m

O que nos dá:

r = 4 h 3

No final a questão pede para a resposta ser em metros, a conversão é :

1 m = 100   c m

Passo 2

O volume de um cone é dado por:

V = π r 2 h 3

O que é sempre 1 3 do volume de um cilindro

Utilizando a relação entre altura e raio temos:

V = 1 3 π 16 9 h 3 = 16 27 π h 3

Passo 3

Derivando a equação do Volume em função da altura no tempo temos:

d V d t = 16 27 π 3 h 2 d h d t

Arrumando:

d V d t = 16 9 π h 2 d h d t

Substituindo os valores dados da questão:

10 m 3 m i n = 16 9   π × 4 2 m 2 × d h d t

d h d t = 0.1119 m m i n

Resposta

Convertendo a resposta temos:

d h d t = 11.19 c m m i n

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