22 – Neste problema, vamos ilustrar como um sistema com autovalores pode ser transformado no sistema (11). Considere o sistema no Problema 12:

1. Mostre que os autovalores desse sistema são e .
2. Mostre que o autovetor associado a pode ser escolhido como
3. Seja P a matriz cujas colunas são formadas pela parte real e pela parte imaginária de .

Então

Seja e substitua na Eq.(i). Mostre que

4. Encontre e mostre que

Logo, a Eq. (v) tem a forma da Eq. (11).

b)

O objetivo é mostrar que o autovetor correspondente a  pode ser escolhido como:

Para .

O autovetor correspondente ao valor próprio :

Assim, o autovetor correspondente a é

c)

O autovetor correspondente ao valor próprio :

Então, e são as partes reais e imaginaria do autovetor, respectivamente.

Assim, a matriz de é .

Temos que esusbtitua por em .

Para mostrar que :

Portanto, a relação necessária é .

d)

O objetivo é encontrar inverso de 

Aqui, a matriz  é escrita como:

O objetivo é mostrar que 

Temos que:

Assim,

Portanto, o produto é . Assim, tem a forma de