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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 14

14 – (d x)/(d t) = ([[-,2,1],[1,-,2]]) x + ([[-,2],[1]])

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[-,2,1],[1,-,2]]) x + ([[-,2],[1]]) ... ... . ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x^0 + u

Passo 2

O ponto crítico x^0 é tal que ((d x)/(d t))_x = x^0 = 0

([[-,2,1],[1,-,2]]) x + ([[-,2],[1]]) = 0

([[-,2,1],[1,-,2]]) x^0 = - ([[-,2],[1]])

([[-,2,1],[1,-,2]])^(- 1) ([[-,2,1],[1,-,2]]) x^0 = - ([[-,2,1],[1,-,2]])^(- 1) ([[-,2],[1]])

I x^0 = ([[-,2,1],[1,-,2]])^(- 1) ([[2],[-,1]])

x^0 = (1)/(3) ([[-,2,-,1],[-,1,-,2]]) ([[2],[-,1]])

([[x_0],[y_0]]) = (1)/(3) ([[-,3,+,0],[0,+,0]])

= (1)/(3) ([[-,3],[0]])

= ([[-,1],[0]])

Portanto, o ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( - 1 , 0 ) .

Passo 3

Deixei  x = x^0 + u

Então  (d x)/(d t) = (d u)/(d t) desde que (d x^0)/(d t) = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

(d u)/(d t) = ([[-,2,1],[1,-,2]]) ([[-,1],[0]]) + ([[-,2,1],[1,-,2]]) u + ([[-,2],[1]])

= ([[2],[-,1]]) + ([[-,2,1],[1,-,2]]) u + ([[-,2],[1]])

= - ([[-,2],[1]]) + ([[-,2,1],[1,-,2]]) u + ([[-,2],[1]])

= ([[-,2,1],[1,-,2]]) u ... ... . ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = xi e^(r t) .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

([[-,2,-,r,1],[1,-,2,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

|[[-,2,-,r,1],[1,-,2,-,r]]| = 0

r^2 + 4 r + 3 = 0

( r + 1 ) ( r + 3 ) = 0

r_1 = - 1

r_2 = - 3

Então os autovalores são r_1 = - 1 e r_2 = - 3 .

Como os valores próprios são reais e desiguais, com o mesmo sinal, o ponto crítico é um nó. 

Nossos autovalores são negativos, assim, vemos que o ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

Resposta

O ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( - 1 , 0 ) . Como os valores próprios são reais e desiguais, com o mesmo sinal, o ponto crítico é um nó. 

Nossos autovalores são negativos, assim, vemos que o ponto crítico é um nó assintoticamente estável.

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