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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.1 - Ex. 13

13 – (d x)/(d t) = ([[1,1],[1,-,1]]) x - ([[2],[0]])

Passo 1

Considere o sistema:

(d x)/(d t) = ([[1,1],[1,-,1]]) x - ([[2],[0]]) ... ... . ( 1 )

O objetivo é determinar o ponto crítico, classificar seu tipo e examinar a estabilidade, fazendo a transformação  x = x^0 + u

Passo 2

O ponto crítico x^0 é tal que ((d x)/(d t))_x = x^0 = 0

([[1,1],[1,-,1]]) x - ([[2],[0]]) = 0

([[1,1],[1,-,1]]) x^0 = ([[2],[0]])

([[1,1],[1,-,1]])^(- 1) ([[1,1],[1,-,1]]) x^0 = ([[1,1],[1,-,1]])^(- 1) ([[2],[0]])

I x^0 = ([[1,1],[1,-,1]])^(- 1) ([[2],[0]])

x^0 = (1)/(2) ([[1,1],[1,-,1]]) ([[2],[0]])

([[x_0],[y_0]]) = (1)/(2) ([[2,+,0],[2,+,0]])

= (1)/(2) ([[2],[2]])

= ([[1],[1]])

Portanto, o ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( 1,1 ) .

Passo 3

Deixei  x = x^0 + u

Então  (d x)/(d t) = (d u)/(d t) desde que (d x^0)/(d t) = 0

Então a equação ( 1 ) se torna,

(d u)/(d t) = ([[1,1],[1,-,1]]) ([[1],[1]]) + ([[1,1],[1,-,1]]) u - ([[2],[0]])

= ([[2],[0]]) + ([[1,1],[1,-,1]]) u - ([[2],[0]])

= ([[1,1],[1,-,1]]) u ... ... . ( 2 )

Passo 4

Tenhamos u = xi e^(r t) .

Em seguida, obtenha o sistema algébrico levando isso consideração.

([[1,-,r,1],[1,-,1,-,r]]) ([[xi_1],[xi_2]]) = ([[0],[0]])

Vamos agora encontrar os autovalores, que são as raízes da equação.

|[[1,-,r,1],[1,-,1,-,r]]| = 0

r^2 - 2 = 0

r^2 = 2

r = +- sqrt(2)

r_1,2 = +- sqrt(2)

Então os autovalores são r_1,2 = +- sqrt(2) .

Como os autovalores são reais com sinais opostos, o ponto crítico é o ponto de sela instável.

Resposta

O ponto crítico é (x_0 , y_0) = ( 1,1 ) . Como os autovalores são reais com sinais opostos, o ponto crítico é o ponto de sela instável

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Usando o método de redução de ordem, mostre que, se r 1 for uma raiz repetida de r ( r - 1 ) + α r + β = 0 , então x r 1 e x r 1 serão soluções de x 2 y ' ' + α x y ' + β y = 0 para x0 .
2 - d x d t = 5 - 1 3 1 x
5 - d x d t = 1 - 5 1 - 3 x
1 - d x d t = 3 - 2 2 - 2 x
3 - d x d t = 2 - 1 3 - 2 x