Prove que quaisquer a e b , a < b ,

arctan(b) - arctan(a) < b - a

Conclua que para todo x > 0

arctan(x) < x

Passo 1

Sendo a função arctan x derivável para [0 , + oo] e contínua em ] 0 , + oo [ , podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, para afirmar que:

arctan b - arctan a = f ´ (c) (b - a)

Ou seja:

((arctan b - arctan a))/(b - a) = f ´ (c)

Sendo que (d arctan x)/(d x) = (1)/(1 + x^2)

Passo 2

Ou seja, Para qualquer que seja o valor de c , a função arctan x nunca será maior que 1, dessa forma:

((arctan b - arctan a))/(b - a) < 1

((arctan b - arctan a))/(b - a) xx (b - a) < b - a

(arctan b - arctan a) < b - a

Passo 3

Para x > 0 sabemos que arctan x , quando x -> oo , tende pra (pi)/(2) , ou seja

arctan x < x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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