Prove que quaisquer a e b , a < b ,

arctan(b) - arctan(a) < b - a

Conclua que para todo x > 0

arctan(x) < x

Passo 1

Sendo a função arctan ⁡ x derivável para 0 , + ∞ e contínua em ] 0 , + ∞ [ , podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, para afirmar que:

arctan ⁡ b - arctan ⁡ a = f ´ c b - a

Ou seja:

arctan ⁡ b - arctan ⁡ a b - a = f ´ c

Sendo que d arctan ⁡ x   d x = 1 1 + x 2

Passo 2

Ou seja, Para qualquer que seja o valor de c , a função arctan ⁡ x nunca será maior que 1, dessa forma:

arctan ⁡ b - arctan ⁡ a b - a < 1

arctan ⁡ b - arctan ⁡ a b - a × b - a < b - a

arctan ⁡ b - arctan ⁡ a < b - a

Passo 3

Para x > 0 sabemos que arctan ⁡ x , quando x → ∞ ,   tende pra π 2 , ou seja

arctan ⁡ x < x

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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