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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 15.2 - Ex. 2

Prove que para quaisquer que sejam s e t em ] 1 , + oo [

|ln s - ln t| <= |s - t|

Passo 1

Sendo a função ln x derivável para ] 1 , + oo [ e contínua em [1 , + oo] , podemos usar o Teorema do Valor Intermediário, para afirmar que:

ln s - ln t = f ´ (c) (s - t)

Ou seja:

((ln s - ln t))/(s - t) = f ´ (c)

Sendo que (d ln x)/(d x) = (1)/(x) , então podemos dizer que para qualquer que seja x ele nunca será maior que 1

Passo 2

Sendo que (d ln x)/(d x) = (1)/(x) , então podemos dizer que para qualquer que seja x ele nunca será maior que 1

Então:

Para x = 1 -> (d f (1))/(d x) = (1)/(1) = 1 ou seja:

(|ln s - ln t|)/(|s - t|) <= 1

(|ln s - ln t|)/(|s - t|) xx |s - t| <= |s - t|

|ln s - ln t| <= |s - t|

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Suponha f contínua em a , b e derivável até o 2 ª ª ordem em ] a , b [ . Sejam x 0 , x 1ex 2 ponte de a , b , com x 0x 1x 2 , e tais que f x 0 = f x 1 = f x 2 = 0 . Prove que existe pelo menos um c em
Suponha f contínua em a , b , derivável em ] a , b [ e tal que f a = f b = 0 . Suponha, ainda, que 0a . Prove que existe c em ] a , b [ tal que f ´ c = f c c . Interprete geometricamente.
Sejam feg contínuas em a , b e deriváveis em ] a , b [ , com g x ≠ 0 em a , b . Suponha ainda, que f a = g a e f b = g b . Prove que existe c em ] a , b [ tal que f ´ c g c = f c g ´ c .
Sejam ab dois reias dados. Prove que(e^b - e^a)/(b - a)e^b
Suponha que g t seja uma primitiva de f t em 0,1 , isto é, para todo t em 0,1 , g ´ t = f t . Suponha, ainda, que f t1 em ] 0,1 [ . Prove que g t - g 0te m] 0,1 ]