Sejam I um intervalo, f uma função contínua em I e tal que |f´(x)| ≤ M para todo x no interior de I onde M > 0 é um real fixo. Prove que quisquer que sejam x e y em I

|f(x) - f(y)| ≤ M |x - y|

Passo 1

Pelo teorema do valor intermediário:

Se f for contínua em a , b e derivável em ] a , b [ , então existirá pelo menos um c   em ] a , b [ tal que

f b - f a = f ´ c b - a

Ou seja:

f b - f a b - a = f ´ c

Passo 2

Como nos foi dito que f ´ x ≤ M então, tomando x e y como extremos:

f ´ x ≤ M → f x - f y x - y ≤ M → f x - f y x - y ≤ M

f x - f y x - y × x - y ≤ M × x - y

f x - f y ≤ M x - y

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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