Seja f: R → R e suponha que f'(x) ≠ 1 para todo x . Prove que f admitirá no máximo um ponto fixo.

Passo 1

Pelo teorema do valor intermediário, temos que Se f é contínua e derivável em R , então existirá pelo menos um c tal que:

f b - f a = f ´ c b - a

Se assumirmos que um dos pontos é fixo, por exemplo ( b , b ) , então:

b - f a = f ´ c b - a

b - f a = b f ´ c - a f ´ c

Passando tudo que tem b para o mesmo lado,

b - b f ´ c = f a - a f ´ c

b 1 - f ´ c = f a - a f ´ c

Logo,

b = f a - a f ´ c 1 - f ´ c

Resposta

Para que o ponto seja fixo, então:

b = f a - a f ´ c 1 - f ´ c

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