Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 50
Um objeto de massa está se movendo horizontalmente por um meio que resiste ao movimento com uma força que é uma função da velocidade; isto é,
onde e representam a velocidade e a posição do objeto no instante , respectivamente. Por exemplo, pense em um barco se movendo pela água.
(a) Suponha que a força de resistência seja proporcional à velocidade, isto é, é uma constante positiva. (Esse modelo é apropriado para os valores pequenos de .) Sejam e os valores iniciais de e . Determine e em um instante qualquer . Qual é a distância total que o objeto percorre a partir do instante ?
(b) Suponha que a força de resistência seja proporcional ao quadrado da velocidade, isto é, (Este modelo foi proposto pela primeira vez por Newton.) Sejam e os valores iniciais de e Determine e em um instante qualquer . Qual é a distância total que o objeto percorre nesse caso?
Passo 1
E aí, galera? Nessa questão, vamos ter que determinar e para duas situações físicas, mas fica tranquilo se você não manja de física, porque o enunciado já nos deu as equações diferenciais, só precisamos resolvê-las, ok?
(a) Primeiro, vamos nos concentrar na equação diferencial envolvendo beleza?
Aqui, , então a nossa equação diferencial fica assim:
Ela é do tipo separável, então bora colocar tudo o que é de de um lado, e o que é de do outro, e integrar cada lado, show? Lembre-se que e são apenas constantes que o enunciado nos deu.
Nos foi dado que então vamos usar isso pra descobrir a constante :
Então chegamos a:
Passo 2
Show! Agora temos que achar a distância total que o objeto percorre a partir do instante , mas pra isso, precisamos encontrar , então note isso:
Mas já temos , então chegamos numa equação diferencial separável:
Agora coloca de uma lado, do outro e integra:
Se você fizer a substituição na segunda integral, vai chegar no seguinte resultado:
Pra descobrir a constante , lembre-se que então vamo lá?
Chegamos então a:
Acontece que ele nos pediu a distância total que o objeto percorre a partir do instante , e isso significa tomar o seguinte limite:
Passo 3
(b) Show! Agora a gente vai basicamente repetir os mesmos passos do item (a).
Aqui, então nossa primeira equação diferencial fica:
Ela é separável, então bora resolver?
Sabemos que :
Então chegamos a:
Passo 4
Show! No Passo 2, a gente viu que:
Novamente, temos e podemos substituir pra obter mais uma equação diferencial:
Veja que ela também é do tipo separável:
Agora é só integrar cada lado, né?
A segunda integral parece grande e complicada né? Mas não se assusta não, pois ela é do tipo: , ok?
Resolvendo então as integrais:
O enunciado nos deu: , então:
Então chegamos a:
Agora, vamos calcular a distância percorrida:
Resposta
(a)
(b)