Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 9.3 - Ex. 54
De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton, a força gravitacional em um objeto de massa que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é
onde é a distância do objeto acima da superfície no instante ; , o raio da Terra; e , a aceleração da gravidade. Também, pela Segunda Lei de Newton, e dessa forma
(a) Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial . Seja a altura máxima acima da superfície alcançada pelo objeto. Mostre que
[Sugestão: Pela Regra da Cadeia, .]
(b) Calcule . Esse limite é chamado velocidade de escape da Terra.
(c) Use e para calcular em quilômetros por segundo.
Passo 1
(a) E aí, galera? Nesse exercício vamos trabalhar com a situação física de um foguete sendo lançado, mas preocupa não porque a gente vai resolver isso junto.
Nesse item, a gente precisa mostrar que
Mas pra isso, a solução ideal seria encontrar qual a expressão de , pra calcular , não é mesmo? E parece que o enunciado nos deu a equação diferencial perfeita pra isso, olha:
Mas pera! e são constantes dadas pelo enunciado, mas é uma variável que depende de ! Como a gente resolve isso?
Para nossa alegria, nos foi dada uma dica, vamos usar isso daqui:
Então nossa equação fica assim:
Passo 2
Show! Agora que só temos duas variáveis na equação, já podemos resolvê-la. E olha só, ela é separável:
Então bora integrar!
Segundo o enunciado, a altura máxima é . Se você lembrar lá da aula de Física, no ponto em que um objeto alcança sua altura máxima, a velocidade é nula. Então vamos substituir e na equação pra achar o valor da constante , beleza?
Então nossa equação fica assim:
Passo 3
Beleza! A gente chegou a uma expressão para , não para , como queríamos. Até poderíamos tentar jogar nosso resultado de volta na equação , cair em mais uma equação diferencial e resolver para . Mas ainda bem que temos uma solução muito mais simples!
Sabemos que é a velocidade no instante inicial. Também sabemos que quando um objeto é lançado da superfície da Terra, sua altura inicial é nula. Então, quando , e assim podemos calcular a partir da expressão encontrada para !
Passo 4
(b) Show! Agora vamos calcular a velocidade de escape:
Passo 5
(c) Agora é só usar a expressão obtida no item anterior pra calcular com os valores numéricos de . Como ele nos pediu que as unidades fossem quilômetros por segundo, vamos primeiro fazer uma conversão de unidades em , beleza?
Agora sim!
Resposta
(b)
(c)