Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 10
Obtenha gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Estime os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão, e use o cálculo para achar essas quantidades exatamente.
Passo 1
Fala aí, tudo certinho com você?
Bom, essa questão dá pra gente a curva
E pede pra gente fazer seu gráfico de que revele todos os seus aspectos importantes.
Para isso devemos usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão da função .
Então a ideia aqui é a gente relembrar o que cada uma dessas derivadas pode nos trazer de informações, assim poderemos traçar o gráfico de com todas as características necessárias.
Então vamos lembrar o que cada derivada conta pra gente.
A derivada de uma função é entendida como a inclinação da reta tangente a curva do gráfico da função.
Sabendo disso, podemos pensar que quanto mais positiva a derivada estiver, mais rapidamente a função original estará crescendo.
Assim:
Já a derivada de segunda ordem é a inclinação da reta tangente ao gráfico da primeira derivada e ela nos trará informações sobre o sentido da concavidade.
Assim:
O ponto de inflexão acontece onde a derivada de segunda ordem for igual a zero. Assim:
Agora que já sabemos de tudo isso, bora resolver essa questão.
Para resolvermos este problema, é ideal que façamos primeiramente as derivações necessárias e encontremos os pontos de interseção com o eixo para em seguida, esboçarmos os gráficos, okay?
Passo 2
Podemos começar derivando em relação a , temos
Que
Então sua derivada será calculada usando a regra do expoente, onde teremos:
Derivando em relação a , temos
Podemos então fazer o seguinte gráfico usando um programa computacional.
Passo 3
Nossa função está crescendo em
e
e decrescendo em
e
O valor de mínimo local é e não há valor de Maximo local.
Podemos ver que possui concavidade para baixo em
e
e concavidade para cima em
e
Não há pontos de inflexão.
Para encontrar os valores exatos, iremos igualar a primeira e a segunda derivada a zero. Igualando a zero, temos
E resolvendo, teremos:
Igualando a zero, temos
Resposta
Nossa função está crescendo em
e
e decrescendo em
e
Não há pontos de inflexão.
Nossa função possui concavidade para cima em
e
e concavidade para baixo em
e