Obtenha gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular, você deve usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Vamos começar encontrando a nossa derivada primeira.

A função dada é:

Usando a regra do quociente para derivadas, temos que:

Vamos fazer um estudo de sinais para essa derivada.

Temos que é sempre positiva.

é sempre positiva por estar sendo elevada ao quadrado.

Por fim temos

Aplicando Bhaskara vemos que suas raízes são

E

Como para essa fator de segundo grau, temos que ele possui concavidade para cima e portanto, ele é negativo quando

E positivo quando

Dessa forma, a função decresce quando está no intervalo e cresce quando está no intervalo .

São pontos críticos os valores e .

Como a função cresce antes de e depois decresce, temos que é um ponto de máximo.

Como a função decresce antes de e depois cresce, temos que é um ponto de mínimo.

Agora, encontrando a derivada segunda da nossa função, temos que derivar a primeira derivada.

Aplicando a regra do produto e a regra do quociente temos:

Ajeitando isso, chegamos em:

Essa segunda derivada aí é meio complicada de encontrar seu estudo de sinal.

Sendo assim, vamos plotar só o seu gráfico e tirar as informações a partir dele.

Usando um software gráfico, vamos plotar o gráfico da primeira derivada que é:

E da segunda derivada que é:

A partir do gráfico da segunda derivada (dando um pouco de zoom), é possível ver que quando está no intervalo e no intervalo .

E a segunda derivada é negativa, isso é, , quando está no intervalo .

Dessa forma, a função é côncava para cima quando está no intervalo e a função é côncava para baixo quando está no intervalo .

Não há pontos de inflexão, porque não tem nenhum local em que a função troca o sinal da derivada, essa troca está sempre separada por assíntotas, que são os pontos e , onde a função original não está definida.

Por fim, vamos plotar o gráfico da função original, para ver se faz sentido o que encontramos.

E com uma janela gráfico um pouco maior temos:

(O software gráfico usado (wolframalpha) teve problemas para plotar a curva com fidelidade. Os pontos e são assíntotas verticais, uma vez que o valor da função vai para infinito e menos infinito nesses pontos. Por algum motivo, o software não conseguiu plotar essas assíntotas.)

Usando o serviço de plotagem de gráficos do google, temos uma resposta melhor:

Aqui vemos as concavidades para cima no intervalo e para baixo no intervalo . Os pontos em azul são os pontos de máximo e mínimo local. E o ponto e azul no centro é a interseção com o eixo .