Enunciado

Para um período de 1980 a 2000, a porcentagem de famílias nos Estados Unidos com no mínimo um videocassete foi modelado pela função

V t = 85 1 + 53 e - 0,5 t

Onde o tempo t é medido em anos desde a metade do ano de 1980; então, 0 ≤ t ≤ 20 . Use um gráfico para estimar o tempo no qual o número de videocassetes estava crescendo mais rapidamente. Use então derivadas para dar uma estimativa mais precisa

Passo 1

Selvaaaaaaaaaa galerinha, isso mesmo selva haha, tudo certinho??

“Hulk esmaga”, Bora esmagar essa questãozinha comigo?

A questão pede para determinar o tempo durante o período de 1980 a 2000 no qual a porcentagem de famílias nos Estados Unidos com pelo menos um videocassete estava crescendo mais rapidamente.

Isso envolve encontrar o ponto de inflexão da função V ( t ) , onde a taxa de crescimento da função é máxima.

Para encontrar o tempo em que a porcentagem de famílias com videocassete estava crescendo mais rapidamente, precisamos:

1. Analisar o comportamento da função V ( t ) .

2. Usar derivadas para determinar a taxa de crescimento da função V ( t ) .

3. Encontrar a derivada da função V t   (a taxa de crescimento).

4. Determinar a segunda derivada para encontrar o ponto onde a primeira derivada é máxima.

5. Resolver para t onde a segunda derivada é zero e confirmar que é um ponto de inflexão.

Passo 2

A função dada é

V t = 85 1 + 53 e - 0,5 t

Precisamos analisar essa função e suas derivadas para encontrar o ponto onde a taxa de crescimento é máxima.

Encontrar a primeira derivada V ' t

Usamos a regra do quociente para derivar V t :

V ' t = d d t 85 1 + 53 e - 0,5 t

Usamos a regra do quociente

d d x f x g x

= f ' x g x - f x g ' x g x 2

f t = 85   ( c o n s t a n t e ,   e n t ã o   f ' t = 0 )

  g t =   1   +   53 e - 0,5 t

  g ' ( t )   =   - 26.5 e - 0,5 t

Aplicamos a regra do quociente:

V ' t = 0 ⋅ 1 + 53 e - 0,5 t - 85 ⋅ - 26,5 e - 0,5 t 1 + 53 e - 0,5 t 2

V ' t = 85 ⋅ 26,5 e - 0,5 t 1 + 53 e - 0,5 t 2

V ' t = 2252,5 e - 0,5 t 1 + 53 e - 0,5 t 2

Passo 3

Encontrar a segunda derivada V ' ' ( t ) ...

Para encontrar V ' ' ( t ) , precisamos derivar V ' ' ( t ) :

V ' t = 2252,5 e - 0,5 t 1 + 53 e - 0,5 t 2

Usamos novamente a regra do quociente, onde:

f t =   2252.5 e - 0,5 t

  f ' t =   - 1126.25 e - 0,5 t

  g t =   1   +   53 e - 0,5 t 2

  g ' t =   2   ⋅ 1   +   53 e - 0,5 t ⋅ - 26.5 e - 0,5 t

Aplicamos a regra do quociente para derivar (   V ' t ) :

V ' ' t = - 1126.25 e - 0,5 t 1 + 53 e - 0,5 t 2 - 2252.5 e - 0,5 t ⋅ 2 ⋅ 1 + 53 e - 0,5 t - 26.5 e - 0,5 t 1   +   53 e - 0,5 t 4

Simplificamos a expressão (essa parte é um pouco longa e envolve álgebra complexa):

V ' ' t = 1   +   53 e - 0,5 t ⋅ - 1126.25 e - 0,5 t +   119173.75 e - t 1   +   53 e - 0,5 t 3

Passo 4

Precisamos resolver (   V ' ' t =   0   ) :

- 1126.25 e - 0,5 t +   119173.75 e - t =   0  

119173.75 e - t =   1126.25 e - 0,5 t

  e - t = 1126.25 119173.75 e - 0,5 t

  e - 0,5 t =   1126.25 119173.75

- 0,5 t   = ln ⁡ 1126.25 119173.75

t = - 2 ln ⁡ 1126.25 119173.75

Resolvendo para (   t   ) :

  t = 7,92 ≈ 8   a n o s

Portanto, a estimativa mais precisa do tempo em que o número de videocassetes estava crescendo mais rapidamente é cerca de 8   a n o s após a metade de 1980, ou seja, aproximadamente em meados de 1987.

Passo 5

Resolução gráfica (usando software gráfico ou calculadora)

Usamos um gráfico da função   V t para visualizar o ponto onde a taxa de crescimento é máxima.

O ponto máximo da derivada V ' t representa onde a porcentagem de famílias com videocassetes estava crescendo mais rapidamente.

Verificando o gráfico e a derivada, confirmamos que a análise analítica está correta.

No gráfico acima, temos duas curvas:

V ( t ) (linha contínua azul): Representa a porcentagem de famílias nos Estados Unidos com pelo menos um videocassete ao longo do tempo.

V ' ( t ) (linha tracejada laranja): Representa a taxa de crescimento da porcentagem de famílias com pelo menos um videocassete ao longo do tempo.

Pontos Importantes

- Ponto de Crescimento Máximo: O ponto vermelho indica o tempo em que a taxa de crescimento da porcentagem de famílias com videocassete é máxima.

- Tempo Estimado: A análise gráfica confirma que o tempo estimado em que o número de videocassetes estava crescendo mais rapidamente é aproximadamente t = 8   a n o s   anos desde a metade de 1980, o que corresponde ao ano de 1987.

Tanto a análise gráfica quanto a derivada analítica confirmam que o ponto em que a porcentagem de famílias com videocassete estava crescendo mais rapidamente ocorreu em meados de 1987.

“OK, isso foi legal.”

Resposta

Vide o passo a passo.

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