Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 4.6 - Ex. 7

Obtenha gráficos de que revelem todos os aspectos importantes da curva. Em particular você deve usar os gráficos de e para estimar os intervalos de crescimento e decrescimento, valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos tirar conclusões e estimar propriedades importantes das funções com base em um gráfico previamente feito.

Nós temos a função que é dada por

Definida para .

Vamos usar então um software gráfico para plotar essa função e também as suas derivadas primeira e segunda .

As principais propriedades que queremos estimar são os intervalos de crescimento e decrescimento , valores extremos, intervalos de concavidade e pontos de inflexão.

Da teoria, temos que a função cresce quando sua derivada é positiva

E a função decresce quando sua derivada é negativa

Valores extremos são os máximos e mínimos da função. Temos que eles vão ocorrer quando a primeira derivada trocar de sinal, o que geralmente ocorre quando

Um ponto de máximo vai ocorrer quando a derivada passa de positiva para negativa, o que indica que a função crescia, chegou no máximo e então passa a decrescer.

Um ponto de mínimo ocorre quando a derivada passa de negativa para positiva.

Com relação a concavidade e pontos de inflexão, estes estão atrelados a segunda derivada .

A função é côncava para cima quando a segunda derivada é positiva

E a função é côncava para baixo quando a segunda derivada é negativa

Os pontos de inflexão ocorrem quando a segunda derivada troca de sinal, o que geralmente ocorre em

Bora lá então?!

Passo 2

Bom galera, primeiramente iremos encontrar a primeira e a segunda derivada da nossa função para assim fazer o gráfico da função e das suas derivadas.

Nossa função é:

Derivando , temos

Passo 3

Podemos então gerar os seguintes gráficos

Com base no gráfico de , podemos encontrar o intervalo de decrescimento e crescimento. Para isso, devemos ver onde o gráfico de é menor que zero.

Assim, o intervalo de decrescimento é

e o intervalo de crescimento é

Podemos ver também os valores de máximo e mínimo, que ocorrem quando .

São valores de máximo os pontos

Pois antes dele a função crescia e depois dele a função decresce .

São valores de mínimo os pontos

Pois antes deles a função decrescia e depois deles a função cresce .

Com base no gráfico de , podemos estimar os intervalos de concavidade. Para isso, devemos ver onde o gráfico de é maior que zero, que é onde a concavidade é para cima.