Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 3.7 - Ex. 66
66. (a) Se , onde f e g têm derivadas de todas as ordens, mostre que
(b) Encontre fórmulas similares para e
(c) Conjecture uma fórmula para
Passo 1
Falaii moçadinha, tudo bem?
Bora macetar essa comigo
Temos uma função definida como o produto de duas funções ou seja,
Nosso objetivo é encontrar derivadas sucessivas de .
Usamos a regra do produto para derivar resultando em
Essa é a segunda derivada de , e representa a taxa de variação da taxa de variação de
Repetimos o processo de derivação para obter derivadas de ordem superior de
A cada iteração, as expressões se tornam mais complexas, mas um padrão emerge: cada termo é uma combinação das derivadas de multiplicadas entre si, com coeficientes binomiais.
Portanto, através da aplicação repetida da regra do produto, podemos encontrar expressões para , expressando-as como uma combinação linear das derivadas de .
Passo 2
(a)
Para mostrar aquilo a gente precisa derivar duas vezes a função , então vamos lá:
Pela regra do produto:
Derivando mais uma vez:
A derivada da soma é a soma das derivadas:
Novamente usando a regra do produto:
Prontinho, chegamos na expressão do enunciado.
Passo 3
Vamos derivar mais duas vezes para encontrar as expressões que são pedidas, a partir de agora não vou mais escrever o não funções, para ocupar menos espaço.
Mesmos passos que antes, a derivada da soma:
E usando a regra do produto:
Passo 4
A primeira expressão já foi, agora vamo derivar mais uma vez:
Derivada da soma:
Passo 5
E pela ultima vez, a regra do produto:
Passo 6
(c)
Para resolver a parte (c) e conjecturar uma fórmula para vamos primeiro observar o padrão que emerge das derivadas sucessivas de .
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Terceira derivada:
Podemos derivar para encontrar a terceira derivada mas as expressões serão bastante longas e complexas.
Passo 7
Observamos que cada termo nas derivadas de é uma combinação de derivadas de multiplicadas entre si de diferentes maneiras.
A estrutura geral parece ser uma combinação linear de onde a ordem da derivada.
Com base no padrão observado, podemos conjecturar a seguinte fórmula geral para
Onde representa o coeficiente binomial, que representa o número de maneiras de escolher itens de um conjunto de itens. Neste contexto, representa o número de maneiras de distribuir as derivadas entre de acordo com a ordem da derivada .
Essa fórmula geral expressa como uma combinação de todas as possíveis distribuições de derivadas de de acordo com a ordem da derivada .
Resposta
(b)
(c) Vide a explicação