Se F(x) = f(3 f(4 f(x))) , onde f(0) = 0 e f'(0) = 2 , encontre F'(0) .

Passo 1

Oieee meus lindos, bora?

O exercício nos dá uma função composta f ( 3 f 4 f x ) , e nos pede para encontrar F ' 0 , ou seja, a derivada de F ( x ) em relação a x no ponto x = 0 .

Para isso, precisamos aplicar a regra da cadeia para encontrar a derivada da função composta F ( x ) em relação a x e depois substituir x = 0 para encontrar F ' ( 0 ) .

A regra da cadeia é usada para encontrar a derivada de uma função composta.

Se temos uma função F ( x ) que é a composição de duas funções g x e   h x , ou seja, F x = g h x , então a derivada de F ( x ) em relação a x é dada por

F ' x = g ' h x ⋅ h ' x

Passo 2

Vamos achar primeiro F ' ( x ) . Derivando F pela regra da cadeia:

F x = f ( 3 f 4 f x )

F ' x = f ' 3 f 4 f x ⋅ 3   f ' 4 f x ⋅ 4 f ' ( x )

Substituindo x = 0 , temos que

F ' 0 = f ' 3 f 4 f 0 ⋅ 3   f ' 4 f 0 ⋅ 4 f ' ( 0 )

Já temos que f ' 0 = 2 .

Veja que

f ' 4 f 0 = f ' 4 ⋅ 0 = f ' 0 = 2 .

O mesmo ocorre com

f ' 3 f 4 f 0 = f ' 3 f 4 ⋅ 0 = f ' 3 f 0 = f ' 3 ⋅ 0 = f ' 0 = 2

Assim,

F ' 0 = 2 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 96

Resposta

F ' 0 = 96

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