Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 5.12 - Ex. 14

Determinar o ponto da curva que se encontra mais próximo de . Mostrar que a reta que passa por e por é normal à curva dada em .

Passo 1

Como queremos saber o ponto da curva mais próximo do ponto , podemos fazer a distância entre os dois pontos e minimizar. Vamos supor que , como ele nos disse que o ponto está na curva:

Logo,

Fazendo a distância entre e :

Para minimizarmos , podemos minimizar apenas o que está dentro da raiz.

Passo 2

Para minimizarmos, vamos derivar e igualar a zero para achar os pontos críticos.

Cuidado com a regra de cadeia!

Igualando a zero:

Isto é,

Simplificando:

Agora precisamos achar as raízes da equação aqui de cima, mas repare que a soma dos coeficientes é isso quer dizer que é raiz da nossa equação. Então uma das soluções . Então o ponto fica o seguinte:

Passo 3

Ele nos pede para mostrar que que a reta que passa por e por é normal à curva dada em . Para isso, podemos achar o coeficiente angular da reta que passa por e e achar o coeficiente angular da reta tangente a curva no ponto

Para reta passando por e :

Já para reta tangente, temos que lembrar que o coeficiente angular da reta rangente é a derivada no ponto. Assim,

Derivando,

Para o ponto :

Pra finalizar, basta mostrarmos que a retas são perpendiculares. Isso acontece quando o produto dos coeficientes angulares dá . Vamos ver se isso ocorre no nosso caso!