Uma janela tem a forma de um retângulo encimado por um semicírculo. Achar as dimensões de modo que o perímetro seja e a área seja a maior possível.
Passo 1
Inicialmente, podemos fazer uma ilustração da folha, olha só:
Então, o perímetro fica o seguinte:
Isolando :
Já para área, temos o seguinte:
Substituindo a expressão de :
Isto é,
Simplificando:
Passo 2
Para maximizarmos a área, vamos derivar e igualar a zero, pois como é uma equação do segundo grau com coeficiente que acompanhar o negativo, então teremos concavidade para cima. Logo, teremos um ponto de máximo.
Derivando,
Igualando a zero:
Portanto,
Fazendo as contas:
Portanto, a largura ficara o seguinte:
Já para altura do retângulo:
substituindo :