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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.Revisão - Ex. 88

Se f x = x a * x - 1 b , onde a e b são números racionais, prove que f tem um valor máximo relativo de a a b b / a + b a + b .

Passo 1

Sabendo que para acharmos o máximo relativo de uma função bastar igualarmos a derivada da função a zero, ou seja,

f ' x = 0

Desse modo, acharmos a o máximo relativo. Mas e qual é a derivada do módulo de x? Bem a derivada do módulo de x é:

d d x x = x x

E lembrando que, a derivada do produto é dada por:

d d x f * g = g d d x f + f d d x g

Acredito que seja o suficiente para entendemos a resolução desta questão.

Passo 2

Assim, a derivada de f(x) é dada por:

f ' x = a x x x a - 1 * x - 1 b + b x - 1 x - 1 * x a

f ' x = a x x a - 2 x - 1 b + b x - 1 b - 2 x - 1 x a

Igualando a zero, para acharmos o máximo relativo, temos:

a x x a - 2 x - 1 b + b x - 1 b - 2 x - 1 x a = 0

a x x a - 2 x - 1 b = - b x - 1 b - 2 x - 1 x a

a x x - 2 = - b x - 1 - 2 x - 1

Note que, podemos tirar o módulo da equação, pois o sinal quem define é quem está fora do módulo. Desse modo,

a x =   - b x - 1

x = a a + b

Passo 3

Percebe-se que acharmos o ponto onde a função é máxima, com isso, bastar substituirmos o ponto na função principal. Logo,

f a a + b =   a a + b a * a a + b - 1 b

=   a a + b a * - b a + b b

= a a a + b a * b b a + b b

= a a b b a + b a + b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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