Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 11
Uma ilha está num ponto a 6 km do ponto mais próximo , numa praia reta. Uma mulher na ilha deseja ir a um ponto , a 9 km do ponto . A mulher pode alugar um barco por $15 o quilômetro e navegar até um ponto entre e e então alugar um carro a um custo de $12 por quilômetro e chegar a por uma estrada reta. Ache o percurso mais barato de até .
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Temos um problema bem geométrico, vamos começar desenhando o que o problema nos dá para visualizar melhor o problema. Vamos ficar com esse triangulo:
Pense que cada quadradinho representa 1km. Vamos denominar o ponto arbitrariamente entre e , assim:
Vamos chamar a distância de e tentar encontrar a equação que relaciona o caminho total e o preço de cada transporte. Perceba que temos um triangulo retângulo com um ângulo reto em . Então será a hipotenusa do triangulo e por Pitágoras podemos escrevê-la como:
Mas sabemos que . Então:
Essa é a distância que a mulher andará de barco, para calcular o preço total, ficamos com , já que custa por quilômetro de barco.
Passo 3
Agora vamos para a parte terrestre. A distância que sobra para a mulher andar de carro é o trecho , que podemos escrever como . Já que é a distância total e é o ponto onde ela desceu do barco e vai pegar o carro.
E como custa por quilômetro de carro, o preço na terra fica .
Agora vamos somar os dois preços e teremos a equação do preço total, que é o que queremos!
Agora sim! Podemos derivar a função e encontrar o seu mínimo igualando a sua derivada a ou verificando onde ela não existe.
Passo 4
Derivando :
Perceba que a derivada não existe em . Vamos guardar esse ponto para comparar depois a função original. Igualando a derivada a :
Podemos ignorar o resultado , pois pertence ao intervalo
Passo 5
Então temos quatro pontos para analisar a função: os dois extremos do intervalo, e .
Então o preço mais barato é quando . Então o percurso deve ser de até e de até , onde fica km abaixo de .
Resposta
de até e de até , onde fica km abaixo de .