56. Seja f uma função cuja derivada f' é contínua em [a, b] . Ache o valor médio da inclinação da reta tangente ao gráfico de f em [a, b] e dê uma interpretação geométrica do resultado.

Passo 1

Temos f e sua derivada, precisamos aplicar o teorema do valor médio para f ' , que é a definição de inclinação da reta tangente a f , certinho?

Passo 2

Como a questão diz que f ' é contínua em a , b , então f ' é integrável nesse intervalo. Podemos usar o teorema do valor médio:

∫ a b f ( x ) = f ( x ) ( b - a )

Ao isolarmos o f ( x ) fica assim

f x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ( x )

Assim vamos calcular o valor médio (VM) de f ( x )

Passo 3

Substituindo na fórmula...

f ' x = 1 ( b - a ) ∫ a b f ' ( x )

Como a integral da derivada de uma função é ela mesma:

f ' ( x ) = 1 b - a f ' x a b = f b - f ( a ) b - a

Passo 4

Qual a interpretação disso?

Bem, o valor médio da inclinação da tangente é o valor da inclinação da secante que passa pelos ponto ( a , f a ) e ( b , f b ) . Como assim?? Desenhando o gráfico, fica melhor:

Enfim, era só pra perceber que o ângulo da tangente e da secante é o mesmo

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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