Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 4.2 - Ex. 23
Ache as dimensões do cilindro circular reto de maior área de superfície lateral que possa ser inscrito numa esfera com um raio de cm.
Passo 1
Essas questões têm um jeito bem metódico de resolver, saca só:
- Precisamos de uma equação que associe a variável que queremos maximizar e outra variável do problema. Essa é normalmente a parte mais difícil do problema.
- Depois que temos essa função, vamos encontrar a derivada dela e procurar os valores onde ela se iguala a e os valores onde ela não existe.
- A partir do Teorema do Valor Extremo vamos encontrar os máximos e mínimos comparando os valores da função original nos extremos do intervalo e nos pontos onde a derivada é nula ou inexistente.
Passo 2
Imagine um cilindro inscrito em uma esfera de raio . Agora imagine que é o ângulo entre o eixo central do cilindro e o ponto superior de interseção entre o cilindro e a esfera. Daí já podemos restringir no conjunto :
Então o raio desse cilindro será:
E sua altura será:
Daí podemos tirar a área superficial da lateral do cilindro:
Substituindo as expressões que temos para e :
Agora deixando tudo bonitinho:
Essa é a nossa função marota! Agora precisamos derivar e igualar a derivada a .
Passo 3
Derivando:
Agora igualando a :
Como , então:
Ou seja:
O único valor de que satisfaz essa equação é , então vamos usar ele para achar as dimensões do cilindro.
Passo 4
Agora vamos substituir o valor de e de na equações do raio e da altura do cilindro e encontraremos suas dimensões.
Resposta
O raio é cm, a altura é cm.