Os ornitologistas determinaram que algumas espécies de pássaros tendem a evitar voos sobre largas extensões de água durante o dia. Acredita-se que é necessária mais energia para voar sobre a água que a terra, pois o ar em geral sobe sobre a terra e desce sobre a água durante o dia. Um pássaro com essas tendências é solto de uma ilha que está a do ponto mais próximo sobre uma praia reta, voa para um ponto na praia e então voa ao longo da praia para a área , seu ninho. Suponha que o pássaro instintivamente escolha um caminho que vai minimizar seu gasto de energia. Os pontos edistam um do outro.

(a) Em geral, se é preciso 1,4 vezes mais energia para voar sobre a água do que sobre a terra, para que ponto o pássaro precisa voar para minimizar a energia total gasta no retorno ao ninho?

(b) Sejam e a energia (em joules) por quilômetro voado sobre a água e sobre a terra, respectivamente. Qual o significado, em termos do voo do pássaro, de grandes valores da razão ? O que significaria um valor pequeno? Determine a razão correspondente ao mínimo dispêndio de energia.

(c) Qual deveria ser o valor de a fim de que o pássaro voasse diretamente para seu ninho ? Qual deveria ser o valor de para o pássaro voar para e então seguir ao longo da praia para ?

(d) Se os ornitologistas observarem que pássaros de certa espécie atingem a praia em um ponto a de, quantas vezes mais energia será despendida pelo pássaro para voar sobre a água que sobre a terra?

Podemos começar modelando o voo do pássaro.

Esboçando o desenho e aplicando o teorema de Pitágoras, ficamos com:

Show, agora com essa relação matemática de cada etapa do voo, vamos resolver cada um dos itens.

No item (a) desejamos minimizar a energia gasta no voo.

Considerando como a energia por quilômetro sobre a terra, então a energia por quilômetro sobre a água será , então a fórmula da energia total é:

Nesse caso,

Como queremos a menor energia gasta, podemos minimizar essa expressão de energia fazendo a derivada e igualando a zero. Assim:

Minimizando através da derivação por regra da cadeia, teremos:

Agora igualando a zero, ficamos com:

E agora teremos que resolver essa equação.

Assim, a raiz será:

Testando os valores extremos de :

Então, para minimizar energia deve voar a um ponto à cerca de de .

Agora vamos ao item (b).

Devemos pensar o seguinte:

Se é grande, o pássaro deve voar para um ponto que é mais próximo de que de para minimizar a energia usada voando sobre a água.

Se é pequeno, o pássaro deve voar para um ponto que é mais próximo de que de para minimizar a distância do voo.

Assim,

Minimizando :

Seguindo o mesmo argumento de (a), essa relação dará o gasto mínimo de energia se a ave se dirigir ao ponto à cerca de de .

Agora no item (c) vamos ver o que acontece quando o pássaro voa diretamente para .

Para isso, faremos , então usando a resposta de (b) temos:

Não há valor de para o qual o pássaro deveria voar diretamente para , mas se fizermos

Se o ponto que a energia é mínima é perto de , então é grande, porque a energia gasta voando sobre a água estará tendendo a zero.

Agora em (d), assumindo que os pássaros com certeza escolham o caminho que minimize o gasto de energia, podemos usar a equação da parte a para derivar em função de , com e :

E prontinho. Temos tudo que foi pedido.