Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 4.6 - Ex. 12
Faça o gráfico da função.
Use a regra de L’Hôspital para explicar o comportamento quando .
Estime o valor mínimo e os intervalos de concavidade. Então, use o cálculo para achar os valores exatos.
Passo 1
Bom galera, nesse exercício estamos interessados em esboçar o gráfico da função
para ver o comportamento da função e estimar o valor de mínimo e intervalo de concavidade.
Aqui vamos usar uma ferramenta gráfica para esboçar o gráfico de .
A questão também pede para usarmos a regra de L’hospital para avaliar o comportamento de quando , ou seja:
A regra de L’hospital nos diz que quando temos uma indeterminação do tipo ou , basta derivarmos o numerador e o denominador até que a indeterminação suma.
Nesse caso, nossa função não é uma fração, portanto, precisamos transforma-la em uma fração para poder aplicar a regra de L’hospital.
Para o cálculo, vamos usar que o ponto de mínimo ocorre quando
E a derivada troca de negativa para positiva nesse ponto.
Para os intervalos de concavidade, vamos usar a segunda derivada da função e avaliar que quando
A função é côncava para cima e quando
A função é côncava para baixo.
Após estimar graficamente, iremos conferir nossa resposta utilizando o cálculo para achar o valor exato.
Passo 2
Fazendo o gráfico da função, temos
Passo 3
Vamos utilizar a regra de L’Hôspital para estimar o valor da função quando . Percebemos do gráfico que a função possui um comportamento diferente para tendendo a zero pela esquerda e pela direita, portanto vamos ter que valiar os limites laterais.
Começando pela direita
Utilizando a regra, temos
Derivando em cima e embaixo temos:
Para tendendo a zero pela esquerda temos:
Essa não é uma indeterminação. Um número muito pequeno (zero) dividido por um número muito grande (infinito) tende a zero.
Perceba que esses resultados batem com o que encontramos no gráfico.
Passo 4
Podemos ver qu e há um ponto de mínimo local em próximo de .
Vamos encontrar agora analiticamente esse ponto.
Derivando a função e igualando a zero podemos encontrar os valores exatos.
Nossa função é
Derivando, temos
Como então
Dessa forma, cresce em e e decresce em .
Podemos ver também que é um valor de mínimo local.
Para a segunda derivada temos:
Como , então
Dessa forma, possui concavidade para cima em e concavidade para baixo em . Não há ponto de inflexão.
Resposta
Cresce em e e decresce em . Podemos ver também que é um valor de mínimo local. = Possui concavidade para cima em e concavidade para baixo em . Não há ponto de inflexão.