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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 16.7 - Ex. 18

Calcule a integral de superfície.

∫ ∫ S   x z   d S

S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro y 2 + z 2 = 9 e pelos planos x = 0 e x + y = 5

Passo 1

Fala, galera! Tudo certo?

A questão pede a integral de superfície:

∫ ∫ S   x z   d S

Onde S é a fronteira da região delimitada pelo cilindro

y 2 + z 2 = 9

e pelos planos x = 0 e

x + y = 5

Galera, nesse caso, S será composta de três superfícies. Vamos chamar assim:

S 1 :         x = 0

S 2 :           y 2 + z 2 = 9

S 3 :           x = 5 - y

Vamos calcular a integral de cada superfície, de forma que:

∫ ∫ S   x z   d S = ∫ ∫ S 1   x z   d S + ∫ ∫ S 2   x z   d S + ∫ ∫ S 3   x z   d S

Para achar cada integral de superfície, usamos a equação:

Podemos usar a equação:

∬ S f ( x , y , z )   d S =   ∬ D f r x , y | r → x × r → y | d A

Então, vamos precisar achar uma parametrização para cada uma das nossas superfícies. Depois, devemos aplicar essas equações parametrizadas na nossa função do integrando:

f x , y , z = x z

Depois vamos derivar esses parâmetros para conseguirmos os vetores r → y e r → z e fazermos o produto vetorial entre eles. Calculamos pelas equações:

r → z = ∂ x ∂ z ,   ∂ y ∂ z ,   ∂ z ∂ z

E:

r → y = ∂ x ∂ y ,   ∂ y ∂ y ,   ∂ z ∂ y

Depois, é só substituirmos tudo isso na nossa equação, achar os limites de integração e resolver nossa integral!

Vamos lá!

Passo 2

  • S 1 :

    • Já começamos com a integral mais trivial, quando x = 0 :

    ∫ ∫ S 1   x z   d S = ∫ ∫ S 1   0 d S = 0

  • S 2 : cilindro y 2 + z 2 = 9

Agora, para S 2 , vamos usar a seguinte parametrização: como temos um círculo no plano y z de raio 3 , usamos coordenadas cilíndricas:

x = x

y = 3 cos ⁡ θ

z = 3   s e n   θ  

Então nosso vetor fica:

r x ,   θ = x   i + 3 cos ⁡ θ j + 3   s e n   θ   k  

A variação do parâmetro θ , como temos uma circunferência completa é:

        0 ≤ θ ≤ 2 π  

E a variação de x : como é limitado pelos planos x = 0 e x + y = 5

    0 ≤ x ≤ 5 - y

Substituindo pela forma parametrizada de y :

0 ≤ x ≤ 5 - 3 cos ⁡ θ

Passo 3

Podemos achar os vetores:

  • r x :

    • r → x = ∂ x ∂ x ,   ∂ y ∂ x ,   ∂ z ∂ x = ∂ x ∂ x ,   ∂ 3 cos ⁡ θ ∂ x ,   ∂ 3   s e n   θ ∂ x

    Derivando em x , tratando θ como constante:

    r → x = 1 ,   0 ,   0

  • r θ :

    • r → θ = ∂ x ∂ θ ,   ∂ y ∂ θ ,   ∂ z �� θ = ∂ x ∂ θ ,   ∂ 3 cos ⁡ θ ∂ θ ,   ∂ 3   s e n   θ ∂ θ

    Integrando em θ , tratando x como constante:

    r → θ = 0 ,   - 3   s e n   θ , 3 cos ⁡ θ

    Vamos calcular o produto vetorial:

    r → x × r → θ = i ^ j ^ k ^ 1   0 0 0 - 3   s e n   θ 3 cos ⁡ θ

    Para cada componente i , j e k , temos que multiplicar a matriz que achamos tirando a linha e a coluna da componente que estamos procurando. Depois, tiramos o determinante de cada matriz e ficamos com:

    Então,

    r x × r θ = 1 ,   0 ,   0 × 0 ,   - 3   s e n   θ , 3 cos ⁡ θ = 0 ,   - 3 cos ⁡ θ ,   - 3   s e n   θ

    Agora, podemos tirar o módulo r x × r θ desse nosso vetor:

    r x × r θ = x 2 + y 2 + z 2

    Assim,

    r x × r θ = 9 cos 2 ⁡ θ + 9   s e n 2   θ = 3

    Passo 4

    Montando e resolvendo nossa integral. Escrevendo a função do integrando:

    x z = x 3   s e n   θ

    Portanto, teremos:

    ∬ D f r x , θ | r x × r θ | d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 5 - 3 cos ⁡ θ x 3   s e n   θ 3   d x   d θ

    Resolvendo a integral de dentro em função de x , tratando θ como constante:

    = 3 ∫ 0 2 π 3   s e n   θ x 2 2 0 5 - 3 cos ⁡ θ d θ

    Aplicando os limites de integração:

    = 3 2 ∫ 0 2 π 3   s e n   θ   5 - 3 cos ⁡ θ 2 d θ

    Agora integramos em θ :

    = 3 2 5 - 3 cos ⁡ θ 3 3 0 2 π = 1 2 2 3 - 2 3 = 0

    Passo 5

  • S 3 : como a superfície

x = 5 - y

Já está dada de maneira explicita, com x em função de y e z , podemos usar a equação:

∫ ∫ S   f ( x , y , z )   d S = ∫ ∫ D   f g ( y , z ) , y , z 1 + ∂ x ∂ y 2 + ∂ x ∂ z 2   d A

Calculando as derivadas:

x y ,   z = 5 - y  

Derivada em y :

    ∂ x ∂ y = - 1  

Derivada em z :

      ∂ x ∂ z = 0

Então a gente escreve a integral assim:

∫ ∫ S 3   x z   d S = ∫ ∫ D   5 - y z   1 + - 1 2 + 0 2   d A

onde D é o disco

y 2 + z 2 ≤ 9

Então, é melhor usar coordenadas polares aqui.

x 2 + y 2 = r 2

x = r cos ⁡ θ

y = r   s e n θ

d A = r   d r   d θ

Como temos uma circunferência completa de raio 3 , nossos limites são:

0 ≤ θ ≤ 2 π

0 ≤ r ≤ 3

Substituindo nossos termos e os nossos limites de integração:

∫ ∫ D   5 - y z   2   d A = ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 - r cos ⁡ θ r   s e n   θ   2   r   d r   d θ

Passo 4

Agora podemos de fato resolver a integral:

2 ∫ 0 2 π ∫ 0 3 5 r 2   s e n   θ - r 3   s e n   θ cos ⁡ θ   d r   d θ

Integrando primeiro por dentro em r , com θ como constante:

2 ∫ 0 2 π 5 r 3   s e n   θ 3 - r 4   s e n   θ cos ⁡ θ 4 r = 0 r = 3 d θ

Aplicando os limites de integração:

= 2 ∫ 0 2 π 45   s e n   θ - 81 4 s e n   θ cos ⁡ θ d θ

Integrando em θ

= 2 - 45 cos ⁡ θ - 81 4 s e n 2   θ 2 0 2 π

e aplicando os limites de integração:

= 2   - 45 - 0 + 45 + 0 = 0

Ou seja,

∫ ∫ S   x z   d S = ∫ ∫ S 1   x z   d S + ∫ ∫ S 2   x z   d S + ∫ ∫ S 3   x z   d S = 0 + 0 + 0 = 0

Resposta

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