5) Seja K a região abaixo e γ a fronteira de K orientada no sentido antihorário. Sejam P e Q de classe C1 num aberto contendo K.Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x d y ( Sugestao : Decomponha K em reteangulos e triângulos. Utilize, então, o teorema da seção e o exercício 4 )

Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 8.1 - Ex. 5

5) Seja K a região abaixo e γ a fronteira de K orientada no sentido antihorário. Sejam P e Q de classe C1 num aberto contendo K.

Prove que

( Sugestao : Decomponha K em reteangulos e triângulos. Utilize, então, o teorema da seção e o exercício 4 )

Passo 1

Pela mesma ideia do exercício 2 vamos resolver este. Naquele exercício tinhamos

E cortamos a região em 2

E percebemos que pelo teorema de Green

Passo 2

Neste exercício, se recortamos

Em varias partes triangulares com orientação anti-horaria, veremos que as curvas internas vão se cancelar, sobrando apenas a curva exterior. Logo percebemos que o teorema de green diz é

O fluxo que atravessa a superfície interior é igual ao trabalho ao percorrer a borda dessa superfície, mesmo que a borda e a superfície sejam disformes.

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Aplique o teorema de Green para calcular as integrais nos Exercí-cios 21-24 ∮ C ( 3 y d x + 2 x d y ) C : A fronteira de 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ s e n ⁡ x .

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C. F = x + e x s e n ⁡ y i + x + e x c o s ⁡ y j C : O l

Utilize a fórmula da área do teorema de Green fornecida acima para encontrar as áreas das regiões delimitadas pelas curvas nos Exercícios 25-28A elipse r(t) = (a cos t)i + (b sen t)j, 0 ≤ t ≤ 2p

Nos Exercícios 5-14, utilize o teorema de Green para encontrar a circulação em sentido anti-horário e o fluxo exterior para o campo F e a curva C.F = (x + y)i – (x2 + y2)jC: O triângulo limitado por y

Nos Exercícios 1-4, verifique a conclusão do teorema de Green calculando ambos os lados das Equações 3 e 4 para o campo F = M i + N j . Tome os domínios de integração em cada caso como sendo o disco R