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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 12.4 - Ex. 4f

4. Calcule

f)

int (x - 1)/(sqrt(2 x + 1)) d x

Passo 1

Queremos calcular o seguinte:

I = int (x - 1)/(sqrt(2 x + 1)) d x

Como esse denominador ta bem feio, vamos chamar ele de u olha só:

u = sqrt(2 x + 1)

Isolando o x , temos:

u^2 = 2 x + 1 -> x = (u^2 - 1)/(2)

Derivando para achar o d x em fnção do d u :

2 u d u = 2 d x

Logo,

d x = u d u

Passo 2

Nossa integral era:

I = int (x - 1)/(sqrt(2 x + 1)) d x

E vai ficar o seguinte:

I = int (((u^2 - 1)/(2)) - 1)/(u) u d u

Arrumando as coisas:

I = int ((u^2)/(2) - (3)/(2)) d u

Separando em dois termos:

I = int (u^2)/(2) d u + int (- (3)/(2)) d u

Tirando as constantes da integral:

I = (1)/(2) int u^2 d u - (3)/(2) int d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Resolvendo a integral com o lembrete ali de cima:

I = (1)/(2) xx (u^(2 + 1))/(2 + 1) - (3)/(2) xx u + k

Logo,

I = (1)/(6) u^3 - (3)/(2) u + k

Voltando para variável x :

u = sqrt(2 x + 1)

Portanto,

I = (1)/(6) ( 2 x + 1 )^(3 // 2) - (3)/(2) (2 x + 1)^(1 // 2) + k

Resposta

int (x - 1)/(sqrt(2 x + 1)) d x = (1)/(6) ( 2 x + 1 )^(3 // 2) - (3)/(2) (2 x + 1)^(1 // 2) + k

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