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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 11.7 - Ex. 7d

d) int_0^1 x sqrt(1 - x^2) d x

Passo 1

A motivação nessa questão será fazer uma substituição de variável. Vamos pegar 1 - x^2 que é a mais complexa e chamar de u

u = 1 - x^2 ( * )

Derivando,

d u = - 2 x d x

Não esquece: Se fizemos uma substituição, então temos que mudar os limites de integração!!!

Passo 2

Agora vamos arrumar a casa!

Primeiramente, temos que mudar os limites de integração usando ( * )

x = 0 -> u = 1 - 0^2 = 1 x = 1 -> u = 1 - 1^2 = 0

Repare que quando derivamos apareceu d u = - 2 x d x que é basicamente - (d u)/(2) = x d x Nossa integral era:

int_0^1 x sqrt(1 - x^2) d x = int_0^1 sqrt(1 - x^2) x d x

E vai ficar assim ó:

int_1^0 - sqrt(u) (d u)/(2) = - (1)/(2) * int_1^0 sqrt(u) d u

Não esquece: int x^n d x = (x^(n + 1))/(n + 1) + c quando n != - 1

Passo 3

Agora vamos terminar!

- (1)/(2) * int_1^0 sqrt(u) d u = - (1)/(2) * (u^((1)/(2) + 1))/(1 + (1)/(2)) (​|_1^0 = - ( (0^((3)/(2)))/(3) - (1^((3)/(2)))/(3) ) = (1)/(3)

Resposta

(1)/(3)

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