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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.6 - Ex. 70

Mostre que, se z = f (x , y) for diferenciável em x_0 = 〈x_0 , y_0〉 , então

underset(x - x_0)(lim) (f (x) - f (x_0) - grad f (x_0) * (x - x_0))/(|x - x_0|) = 0

Passo 1

Pessoal, pra facilitar a nossa visualização, vamos escrever as coisas do seguinte modo:

x = (x , y)

x_0 = (x_0 , y_0)

x - x_0 = (x , y) - (x_0 , y_0) = (x - x_0 , y - y_0)

De forma que o limite que temos que mostrar que é 0 fica sendo escrito assim:

underset((x , y) -> ( x_0 , y_0 ))(lim) (f (x , y) - f (x_0 , y_0) - grad f (x_0 , y_0) * (x - x_0 , y - y_0))/(|(x - x_0 , y - y_0)|)

Passo 2

Agora, pra resolver o limite, vamos nos lembrar que se f é diferenciável em (x_0 , y_0) , então ela é contínua nesse ponto. Ou seja, podemos substituir no limite:

f (x , y) = f (x_0 , y_0)

underset((x , y) -> ( x_0 , y_0 ))(lim) (f (x_0 , y_0) - f (x_0 , y_0) - grad f (x_0 , y_0) * (x - x_0 , y - y_0))/(|(x - x_0 , y - y_0)|) = underset((x , y) -> ( x_0 , y_0 ))(lim) - (grad f (x_0 , y_0) * (x - x_0 , y - y_0))/(|(x - x_0 , y - y_0)|)

Passo 3

Show! Agora vamos nos lembrar que se dividimos um vetor pela norma desse mesmo vetor, então obtemos um vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor inicial.

Ou seja, o limite vai se transformar em:

underset((x , y) -> (x_0 , y_0))(lim) - grad f (x_0 , y_0) * ((x - x_0 , y - y_0))/(|(x - x_0 , y - y_0)|)

Mas, quando (x , y) -> (x_0 , y_0) , o vetor unitário se transforma no vetor nulo, de forma que o limite dá 0 .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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