Mostre que, se for diferenciável em , então
Passo 1
Pessoal, pra facilitar a nossa visualização, vamos escrever as coisas do seguinte modo:
De forma que o limite que temos que mostrar que é fica sendo escrito assim:
Passo 2
Agora, pra resolver o limite, vamos nos lembrar que se é diferenciável em , então ela é contínua nesse ponto. Ou seja, podemos substituir no limite:
Passo 3
Show! Agora vamos nos lembrar que se dividimos um vetor pela norma desse mesmo vetor, então obtemos um vetor unitário com a mesma direção e sentido do vetor inicial.
Ou seja, o limite vai se transformar em:
Mas, quando , o vetor unitário se transforma no vetor nulo, de forma que o limite dá .
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)