Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 2.7 - Ex. 39
Uma partícula se move ao longo de uma reta com equação de movimento , em que é medido em metros e em segundos. Encontre a velocidade e a velocidade escalar quando .
Passo 1
E aí galera, tudo tranquilo?
Essa questão aqui é sobre uma aplicação da derivada em um campo muito importante da física: a cinemática!
Para resolvermos essa questão, temos que ter duas coisas em mente: que a velocidade é a derivada da posição e que a derivada de uma função em um ponto é dada por:
Para encontrarmos a velocidade pedida, precisamos calcular . Primeiro, iremos encontrar e para jogar na nossa expressão, dá uma olhada:
Agora, iremos desenvolver o produto notável quadrado da soma que aparece na nossa expressão:
Fazendo as multiplicações, teremos:
Agora, encontrando rapidinho :
Veja só! 😁
Passo 2
Agora a gente vai substituir e no nosso limite! Fica atento e olha só:
Vamos dar mais uma arrumada nessa expressão! Primeiro, vamos tirar esses parênteses daí:
Podemos cancelar com , com e com , ficando assim:
Pronto! Nossa expressão ficou bonitinha e podemos ir para o próximo passo!
Tranquilo até aqui? 😉
Passo 3
Agora, iremos resolver esse limite. Primeiro, fazemos a substituição , mas isso resultará em uma indeterminação . Para resolver esse problema, vou colocar o em evidência no numerador, assim podemos cancelar com o do denominador, fechou? Olha o que vamos ter:
Agora siiiiim! Vamos fazer a substituição para resolver o limite, e aí teremos:
Legal, né? 😎
Passo 4
De posse dá expressão que encontramos, só precisamos fazer e prontinho, teremos o valor da velocidade! Olha o que vai dar:
E essa é a nossa velocidade!
A velocidade escalar é o módulo do nosso resultado. Como temos um número positivo, a velocidade escalar vai ser:
E aí! entendeu tudo? Responde Aí!
Resposta
A velocidade é de e, portanto, a velocidade escalar também é de .