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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 5a

Determine a equação da reta tangente em ( p ,   f ( p ) ) sendo dados

a )   f x = x 2 ;     p = 2

Passo 1

A equação da reta tangente em ( p ,   f ( p ) ) é:

y = f ' p x - p + f ( p )

Então precisamos determinar os valores de f ( p ) e f ' ( p ) .

Mas f p é mais tranquilo, pois basta substituir x por p na função dada. E f ' ( p ) ? Bom, essa é a derivada de f aplicada em x = p , e pra achar esse valor, precisamos relembrar da definição de derivada:

f ' p = lim x → p ⁡ f x - f ( p ) x - p

Pronto! Agora que temos toda parte teórica definida, vamos aos cálculos?

Passo 2

Primeiro vamos calcular a f ( p ) . Aqui temos f x = x 2 e p = 2 :

f 2 = 2 2 = 4

Passo 3

Agora vamos ao cálculo da derivada f ' 2 . Pegando a definição de derivada do passo 1 e o valor de f ( 2 ) calculado no passo anterior:

f ' p = lim x → p ⁡ f x - f ( p ) x - p = f ' 2 = lim x → 2 ⁡ f x - f ( 2 ) x - 2 = lim x → 2 ⁡ x 2 - 4 x - 2

Simplificando ao máximo temos:

f ' 2 = lim x → 2 ⁡ x + 2 x - 2 x - 2 = lim x → 2 ⁡ x + 2

Quando x → 2 a derivada de f assume o valor de:

f ' 2 = 2 + 2 = 4

Passo 4

Show! Agora é só juntarmos todos os resultados e substituir na equação da reta tangente lá do passo 1 :

y = f ' p x - p + f ( p )

y = 4 x - 2 + 4

Assim temos que a equação da reta tangente é:

y = 4 x - 4

Resposta

y = 4 x - 4

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