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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 7.2 - Ex. 1

Seja f (x) = x^2 + 1 . Calcule

a ) f^' (1) b ) f^' (0) c ) f^' ( x )

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas da função f (x) = x^2 + 1 nos pontos x = 1 , x = 0 e a forma geral f^' ( x ) .

Pra isso, vamos usar a definição de derivada (ou seja f^' ( x ) ) na forma:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) (f (x + h) - f ( x ))/(h)

Então, vamos substituir x = x + h na função junto com a nossa f ( x ) para obter a nossa derivada. Em seguida, vamos substituir os valores de x nos quais queremos aplicar a derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que f (x) = x^2 + 1 e que f (x + h) = (x + h)^2 + 1 , podemos usar a definição de derivada para obter:

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) ((x + h)^2 + 1 - ( x^2 + 1 ))/(h)

Expandindo o produto notável:

underset(h -> 0)(lim) (x^2 + 2 h x + h^2 + 1 - x^2 - 1)/(h)

E simplificando, temos:

underset(h -> 0)(lim) (2 h x + h^2)/(h)

Agora podemos colocar h em evidência para simplificar mais um pouquinho nossa expressão:

underset(h -> 0)(lim) (h ( 2 x + h ))/(h)

f^' (x) = underset(h -> 0)(lim) 2 x + h

E quando h -> 0 temos que a derivada é:

f^' (x) = 2 x

Passo 3

Agora aplicando isso para a letra ( a ) que pede a função derivada aplicada em x = 1 , basta substituir o valor indicado de x :

f^' (1) = 2 * 1

f^' (1) = 2

Passo 4

A letra ( b ) pede a função derivada aplicada em x = 0 , então, usando f^' ( x ) que encontramos ali no passo 2 temos:

f^' (0) = 2 * 0

f^' (0) = 0

Passo 5

Por fim, o exercício pede a função derivada genérica, em função da variável x . Mas ela já determinamos ali no passo 2 :

f^' (x) = 2 x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

(a) f^' (1) = 2

(b) f^' (0) = 0

(c) f^' (x) = 2 x

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