Seja f(x) = x^2 + 1 . Calcule

a) f'(1) b) f'(0) c) f'(x)

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas da função f x = x 2 + 1 nos pontos x = 1 , x = 0 e a forma geral f ' ( x ) .

Pra isso, vamos usar a definição de derivada (ou seja f ' ( x ) ) na forma:

f ' x = lim h → 0 ⁡ f x + h - f ( x ) h

Então, vamos substituir x = x + h na função junto com a nossa f ( x ) para obter a nossa derivada. Em seguida, vamos substituir os valores de x nos quais queremos aplicar a derivada.

Vamos lá!

Passo 2

Sabendo que f x = x 2 + 1 e que f x + h = x + h 2 + 1 , podemos usar a definição de derivada para obter:

f ' x = lim h → 0 ⁡ x + h 2 + 1 - ( x 2 + 1 ) h

Expandindo o produto notável:

lim h → 0 ⁡ x 2 + 2 h x + h 2 + 1 - x 2 - 1 h

E simplificando, temos:

lim h → 0 ⁡ 2 h x + h 2 h

Agora podemos colocar h em evidência para simplificar mais um pouquinho nossa expressão:

lim h → 0 ⁡ h ( 2 x + h ) h

f ' x = lim h → 0 ⁡ 2 x + h

E quando h → 0 temos que a derivada é:

f ' x = 2 x

Passo 3

Agora aplicando isso para a letra ( a ) que pede a função derivada aplicada em x = 1 , basta substituir o valor indicado de x :

f ' 1 = 2 ∙ 1

f ' 1 = 2

Passo 4

A letra ( b ) pede a função derivada aplicada em x = 0 , então, usando f ' ( x ) que encontramos ali no passo 2 temos:

f ' 0 = 2 ∙ 0

f ' 0 = 0

Passo 5

Por fim, o exercício pede a função derivada genérica, em função da variável x . Mas ela já determinamos ali no passo 2 :

f ' x = 2 x

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

a f ' 1 = 2

b f ' 0 = 0

c f ' x = 2 x

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